Punkte innerhalb eines Quadrat < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 So 19.04.2009 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Es sei S(-3/-4/14).
Gib alle Punkte an, die innerhalb des Quadrats ABCD liegen.
A(2/-4/4) B(5/1/8) C(8/-4/12) D(5/-9/8) |
Hallo,
ich bereite mich gerade für mein Abi vor und habe diese Aufgabe vor mir. Ich habe leider keiner Ahnung, wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen soll.
Ebene, die ABCD bildet habe ich bereits bestimmt in Normalenform:
[mm] 8x_{1} [/mm] - [mm] 6x_{3} [/mm] = -8
Vielen Dank im Vorraus
Liebe Grüße
sardelka
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Hallo!
Leider nützt dir die Ebene hier relativ wenig. Veranschaulichen wir das Problem ein wenig (die Skizze ist weder maßstabsgetreu noch irgendwas anderes):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das ganze Quadrat wird durch die beiden Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] aufgespannt, wobei [mm] $\vec{u} [/mm] = [mm] \vec{AB}$ [/mm] und [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \vec{AD}$ [/mm] ist. Sämtliche Punkte des Quadrats werden durch
[mm] $\vec{OA} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{u} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v}$
[/mm]
mit [mm] $0\le\lambda, \mu\le [/mm] 1$ erreicht. Will ich beispielsweise irgendeinen Punkt auf der Seite AD, dann nehme ich mir ein [mm] \mu [/mm] und berechne [mm] $\vec{OA} [/mm] + [mm] 0*\vec{u} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v}$, [/mm] will ich irgendeinen Punkt auf AB, dann rechne ich [mm] $\vec{OA} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{u} [/mm] + [mm] 0*\vec{v}$. [/mm] Alle Punkte dazwischen erreiche ich durch bestimmte Kombinationen von [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu.
[/mm]
Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 19.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Warum ist $ [mm] 0\le\lambda, \mu\le [/mm] 1 $???
Verstehe ich irgendwie nicht.
Dass sie positiv sein müssen ist klar, weil sonst nicht dieses Quadrat, sondern das in andere Richtung wäre.
Aber warum darf lambda null sein und mu nicht mehr? Warum nicht andersrum?
Vielen Dank
LG
sardelka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 So 19.04.2009 | | Autor: | TNA-619 |
> Warum ist [mm]0\le\lambda, \mu\le 1 [/mm]???
anders angeschrieben:
[mm]0\le\lambda\le 1 [/mm]
[mm]0\le\mu\le 1 [/mm]
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Hallo!
Ach und noch was wichtiges:
Wenn nur die inneren Punkte gefordert sind, ist natürlich
0 < [mm] \lambda [/mm] < 1
0 < [mm] \mu [/mm] < 1
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 So 19.04.2009 | | Autor: | sardelka |
Aaaaaaaah, ich glaube jetzt verstehe ich. :)
Werde es mir gleich nach einer weiteren Aufgabe anschauen. :)
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 27.04.2009 | | Autor: | MrPotter |
Zu der gegebenen Aufgabe stelle ich mir jetzt die Frage, wie man herausfindet, ob der gegebene Punkt S innerhalb des Quadrats liegt. Die Bedingung ist ja bereits als Formel gegeben, doch kann man [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] damit bestimmen? Ist der Ansatz, den Vektor s in die Gleichung zu setzen und das LGS auszurechnen, richtig?
MrPotter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MrPotter!
Diese Frage ist schnell geklärt, da der Punkt $S_$ gar nicht in der Ebene $ABCD_$ liegt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 27.04.2009 | | Autor: | MrPotter |
Na ja, mir ging's eher um die Vorgehensweise, wenn es einen Punkt gibt, der in E liegt. Was ist zum Beispiel mit P(-1|0|0)?
MrPotter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo MrPotter!
Setze diese Punktkoordinaten in die Parameterform der Ebene ein und bestimme die beiden Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] .
Beide Werte müssen im Bereich $0 \ ... \ 1$ liegen, damit der Punkt innerhalb des Quadrates liegt.
Gruß
Loddar
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