Punkte und Ebenen Spiegeln < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
| Aufgabe | geg.: E1: ax1+bx2+cx3=d
P: (p1/p2/p3)
1: Spiegeln sie Punkt P an der Ebene E1
2: Spiegeln die Ebene E1 an Punkt P |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So die oben genannte Fragestellung kommt daher, dass ich in nächster zeit viele Aufgaben dieser sorte machen werde und ich sie deshalb verstehen sollte.
Die Aufgabenstellung bezieht sich auf ein Theoretisches beispiel, mir wäre jetzt sehr geholfen wenn mir jemand zu 1: und 2: schritt für schritt an diesem beisipel ohne wirkliche zahlen oder rechnungen erklären könnte wie ich da vorzugehen habe.
bei 1:
würde ich erst den Normalenvektor ablesen, dann mithilfe vom punkt P (dann der stützvektor) und dem Normalenvektor ( dann der richtungsvektor) eine hilfsgerade bilden.
dann würde ich den Lotfusspunkt finden wollen (wobei ich mir hier schon nichtmehr sicher bin wie das geht) und dann die länge des vektors vom lotfusspunkt bis zum punkt P berechnen.
danach müsste ja theoretisch (glaube ich^^) wenn man vom lotfusspunkt mit dem normalenvektor als richtungsvektor um eben diese länge des vektors in die andere richtung geht der punkt gesipegelt sein. (weiss aber auch nicht wie man dann auf den punkt kommt :( )
bei 2:
hätte ich es genauso gemacht, wobei ich die eben dann ja nur verschieben und nicht spiegeln würde.
wie auch immer würde ich mich über eine schritt für schritt vorgehensweise sehr freuen, damit ich das nächste mal in mathe auch einmal glänzen kann :)
danke schonmal im vorraus, Dummkopf :)
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> geg.: E1: ax1+bx2+cx3=d
> P: (p1/p2/p3)
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> 1: Spiegeln sie Punkt P an der Ebene E1
> 2: Spiegeln die Ebene E1 an Punkt P
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> So die oben genannte Fragestellung kommt daher, dass ich in
> nächster zeit viele Aufgaben dieser sorte machen werde und
> ich sie deshalb verstehen sollte.
>
> Die Aufgabenstellung bezieht sich auf ein Theoretisches
> beispiel, mir wäre jetzt sehr geholfen wenn mir jemand zu
> 1: und 2: schritt für schritt an diesem beisipel ohne
> wirkliche zahlen oder rechnungen erklären könnte wie ich
> da vorzugehen habe.
>
> bei 1:
> würde ich erst den Normalenvektor ablesen, dann mithilfe
> vom punkt P (dann der stützvektor) und dem Normalenvektor
> ( dann der richtungsvektor) eine hilfsgerade bilden.
>
> dann würde ich den Lotfusspunkt finden wollen (wobei ich
> mir hier schon nichtmehr sicher bin wie das geht) und dann
> die länge des vektors vom lotfusspunkt bis zum punkt P
> berechnen.
>
> danach müsste ja theoretisch (glaube ich^^) wenn man vom
> lotfusspunkt mit dem normalenvektor als richtungsvektor um
> eben diese länge des vektors in die andere richtung geht
> der punkt gesipegelt sein. (weiss aber auch nicht wie man
> dann auf den punkt kommt :( )
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du beschreibst doch ganz wiunderbar, was zu tun ist.
Statt daß wir Dir hier etwas vorrechnen - was ja auch mit Schreibarbeit verbunden ist... - machen wir es lieber so:
nimm Dir jetzt mal ein zahlenbeispiel, vielleicht eins aus dem Mathebuch, und rechne nach Deiner eigenen Anleitung so weit, wie Du kommst.
Bei Rückfragen poste, was Du bisher getan und gerechnet hast, dann kann Dir bestimmt jemand weiterhelfen.
Am konkreten Beispiel lernt man oftmals mehr, als wenn hier mit vielen Worten erklärt wird, was in welcher Situation mit wem wie gleichgesetzt wird.
Gruß v. Angela
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> bei 2:
> hätte ich es genauso gemacht, wobei ich die eben dann ja
> nur verschieben und nicht spiegeln würde.
>
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>
> wie auch immer würde ich mich über eine schritt für
> schritt vorgehensweise sehr freuen, damit ich das nächste
> mal in mathe auch einmal glänzen kann :)
>
> danke schonmal im vorraus, Dummkopf :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
ja es ist mir klar dass es mit schreibarbeit verbunden ist, es würde mir aber extrem helfen wenn ich es anhand dieses vorbildes mit variablen anstatt zahlen nachvollziehen kann.
mit einem rechenbeispiel schaffe ich dies nicht und deshalb wäre es für mich mehr als notwendig das verfahren auf so ein beispiel zurückzuführen.
auch wenn ich weiss dass es oft mit beispielen geht, bin ich nicht die person die sofort wenn sie nicht weiterkommt nach der wunderlösung von anderen fragt. Ich habe mich mehr gründlich versucht damit zu beschäftigen und bin aufgrund meiner erfahrungen bisher insgesamt und mit diesem thema zum entschluss gekommen dass die oben genannte bitte für mich wirklich die beste, und sehr wichtig ist.
trotzdem danke für die antwort :)
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> geg.: E1: ax1+bx2+cx3=d
> P: (p1/p2/p3)
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> 1: Spiegeln sie Punkt P an der Ebene E1
> 2: Spiegeln die Ebene E1 an Punkt P
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> So die oben genannte Fragestellung kommt daher, dass ich in
> nächster zeit viele Aufgaben dieser sorte machen werde und
> ich sie deshalb verstehen sollte.
>
> Die Aufgabenstellung bezieht sich auf ein Theoretisches
> beispiel, mir wäre jetzt sehr geholfen wenn mir jemand zu
> 1: und 2: schritt für schritt an diesem beisipel ohne
> wirkliche zahlen oder rechnungen erklären könnte wie ich
> da vorzugehen habe.
>
> bei 1:
> würde ich erst den Normalenvektor ablesen, dann mithilfe
> vom punkt P (dann der stützvektor) und dem Normalenvektor
> ( dann der richtungsvektor) eine hilfsgerade bilden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann würde ich den Lotfusspunkt finden wollen (wobei ich
> mir hier schon nichtmehr sicher bin wie das geht)
Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Ebene.
> und dann
> die länge des vektors vom lotfusspunkt bis zum punkt P
> berechnen.
Die Länge zu berechnen ist überflüssig. Lieber direkt
vektoriell rechnen: der Vektor vom Lotfußpunkt zum Spiegel-
punkt ist gleich dem Vektor von P zum Lotfußpunkt.
>
> bei 2:
> hätte ich es genauso gemacht, wobei ich die eben dann ja
> nur verschieben und nicht spiegeln würde.
Da brauchst du nicht einmal einen Lotvektor. Die ursprüngliche
Ebene [mm] E_1, [/mm] die dazu parallele Ebene [mm] E_P [/mm] durch P und die gespie-
gelte Ebene [mm] E_2 [/mm] können durch Gleichungen folgender Form
beschrieben werden:
$\ [mm] E_1: a*x_1+b*x_2+c*x_3\ [/mm] =\ [mm] d_1$
[/mm]
$\ [mm] E_P: a*x_1+b*x_2+c*x_3\ [/mm] =\ [mm] d_P$
[/mm]
$\ [mm] E_2: a*x_1+b*x_2+c*x_3\ [/mm] =\ [mm] d_2$ [/mm]
Dabei bilden die Werte von [mm] d_1 [/mm] , [mm] d_P [/mm] und [mm] d_2 [/mm] eine arithmetische
Zahlenfolge.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
also ich kann weder mit "arithmetischer zahlenfolge" noch "vektoriell rechnen" etwas anfangen^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Di 22.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte stell deine Fragen nicht einfach auf unbeantwortet, auch wenn die antwort in ner Mitteilung steckt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
kann mit dem niveau meines vorposters leider nicht mithalten, bzw wird es für mich zu kompliziert um es zu verstehen^^
dabei ist was cih will doch ganz einfach :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Di 22.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum du dein richtiges Vorgehen nicht mit nem Zahlenbsp machst versteh ich nicht. Die Frage dazu war doch in Pkt 2 wie find ich den lotfusspunkt? Dazu schneidest du die Gerade mit Richtunsvektor Ebenenormale und Aufpunkt P mit der Ebene.
Dann hast du P und F der Vektor PF verdoppelt ist der Vektor PP' wenn P' der Spiegelpunkt ist. aalso ist P'=P+2PF
Jetzt musst du schon exakt, mit nem Zahlenbsp zeigen, wo du da noch scheiterst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
ich brauche soetwas wie ein "´kochrezept" damit ich wenn ich beispielsweise nicht weiss was ich jetzt in irgendwas einsetzen muss, ich direkt nachschauen kann ahh x1 ist die erste variable in der ebenenfunktion daher bekomm ich die zahl, usw.
ich brauche sowas halt immer schritt für schritt und nicht schnell mal zusammengefasst^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 22.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann schritt Für Schritt:
1.Ebene E: 2x1+3x2+4x3=5 was ist die Normale.
2. Punkt P=(3,5,7) bestimme die Gerade g durch P senkrecht zu E
3. schneide g mit E Schnittpunkt F
4. bilde den Vektor PF
5. addiere 2*PF zu P
und jetzt tu was, und sag nicht du hättest nicht für jeden der einzelnen Punkte schon Beispiele aus dem Unterricht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
ja, wir haben tatsächlich noch kein einziges beisiel gemacht, da wir uns dieses them nur schon einmal zu gemüte führen sollten bevor wir damit in der nächsten stunde anfangen ;)
aber trotzdem danke für deine schritt-für-schritt schreibweise die ich die ganze zeit haben wollte :)
jetzt ist mir das spiegeln eines punktes an der ebene fast klar, nur eins ist mir noch nicht ganz geheuer:
wenn ich in deinem letzten schritt zweimal den vektor PF zum punkt, oder besser zum vektor des punktes P hinzuaddiere, kann es dann nicht sein dass ich den punkt um die länge von PF weiter von der ebene weg verschiebe?
auch würde ich mich über diese schritt-für-schritt schreibweise bei meinem zweiten problem (dem spiegeln einer ebene am punkt) freuen.
dort ist mir zwar auch (denke ich) klar dass ich erst den lotfusspunkt berechnen muss, doch wie spiegel ich die ebene dann?
wie gesagt, danke trotzdem, hat mir schon geholfen :)
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> jetzt ist mir das spiegeln eines punktes an der ebene fast
> klar, nur eins ist mir noch nicht ganz geheuer:
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> wenn ich in deinem letzten schritt zweimal den vektor PF
> zum punkt, oder besser zum vektor des punktes P
> hinzuaddiere, kann es dann nicht sein dass ich den punkt um
> die länge von PF weiter von der ebene weg verschiebe?
Hallo,
nein, das kann nicht passieren, denn [mm] \obvrrightarrow{PF} [/mm] zeigt vom Punkt zur Ebene.
Verkehrt wird's mit [mm] \overrightarrow{FP} [/mm] .
> auch würde ich mich über diese schritt-für-schritt
> schreibweise bei meinem zweiten problem (dem spiegeln einer
> ebene am punkt) freuen.
> dort ist mir zwar auch (denke ich) klar dass ich erst den
> lotfusspunkt berechnen muss, doch wie spiegel ich die ebene
> dann?
Ich entnehme Deinem ersten Post, daß Dir schon klar ist, daß die Ebene E', die bei Spiegelung von E an P entsteht, zu E parallel ist.
Wenn Du den Lotfußpunkt F von P auf E berechnet hast, dann mußt Du E lediglich um [mm] 2\overrightarrow{FP} [/mm] verschieben, in der Parametergleichung also [mm] 2\overrightarrow{FP} [/mm] addieren.
Oder so: Du berechnest den Punkt P', dessen Ortsvektor man mit [mm] \overrightarrow{0F}+2\overrightarrow{FP} [/mm] erhält, und stellst dann die Normalenform der Ebene, die durch diesen Punkt geht und parallel zu E ist, also denselben Normalenvektor hat, auf.
Die vorgeschlagenen Wege setzen voraus, daß man schon weiß, was beim Spiegeln von Ebenen passiert.
Wenn Du diese nicht gehen willst, nimm Dir drei Punkte [mm] P_1, P_2, P_3 [/mm] aus E, spiegele diese zunächst an P (überleg Dir, was das bedeutet!)
und stell dann die Parametergleichung auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
danke erstmal für den beitrag :)
ein paar fragen sind noch offen:
heisst das ich kann 2*PF (den vektor^^) einfach zum stützvektor der Ebene E1 addieren um die gespiegelte E2 zu bekommen?
wir haben noch nicht gelernt wie man das mit ebenen in der Koordinatengleichung macht (also verschieben usw.), geht das auch mit dieser oder nur in der Parameterdarstellung?
und nochmal zur absicherung (spiegeln vom unkt an der ebene):
1. Hilfsgerade h mithilfe des Normalenvektors von E (als richtungsvektor) und p (als stützvektor) bilden.
2. schnittpunkt der hilfsgeraden h und der ebene berechnen um den Lotfusspunkt F zu bestimmen
3. den vektor PF bilden
4. 2*PF zum Punkt P hinzuaddieren (also zum vektor des punktes)
die schritte bitte absegnen, bzw. gegebenenfalls korrigieren^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 22.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
posts genauer lesen. du musst 2*FP nicht 2*PF addieren, um zur neuen Ebene zu kommen.
die ebene wird ja zum Punkt hin und dann darüber hinaus verschoben.
Und ich würd an deiner Stelle jetzt mal ein konkretes Beispil rechnen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
ich denke du hast meine zusammenfassung als "ebene-am-punkt-spiegeln" gedeutet, da wenn ich einen punkt an der ebene spiegele ich doch den vektor nehmen muss der VOM punkt ZUR ebene zeigt, und eben nicht den anderen, oder?
kann ich (nebenbei gefragt) einfach die koordinatengleichung in parameterform umwandeln, die 3 vektoren (als punkte) wie beim spiegeln von punkten an der ebene spiegeln und aus den 3 Spiegelbildpunkten der punkte dann die neue Ebenengleichung aufstellen? (was für ein satz >:>)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Di 22.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Teil du schriebst:
heisst das ich kann 2*PF (den vektor^^) einfach zum stützvektor der Ebene E1 addieren um die gespiegelte E2 zu bekommen?
das heisst doch Ebene an Punkt sp???
und das war so falsch.
2.ter Teil nein. du kannst aber aus irgendeiner Form 3 Punkte A,B,C (nicht vektoren) nehmen, die am Punkt Spiegeln, dann aus den dreien die neue Ebene machen.
Punkt A an P Spiegeln:A'=A+2*PA oder A'=P+PA
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 22.06.2010 | | Autor: | Dummkopf |
ok danke, zu 1. war wohl ein fehler meinerseits weil ich etwas verwirrt war/bin^^
zu 2. kann ich die Spurpunkte als die Punkte nehmen die dann gespiegelt werden und aus denen ich dann letztendlich die neue ebene aufstelle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 22.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist wirklich egal welche 3 Punkte du nimmst, also möglichst einfache. Spurpunkte sind einfach falls du mit Spurpkt die Schnitte mit den 3 Achsen meinst. Dann gehts nur nicht, wenn E! durch 0 geht.
Gruss leduart
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Dummkopf:
Sorry, aber warum weigerst du dich eigentlich so hartnäckig,
ein konkretes Beispiel zu benützen ?
(nichts gegen "allgemein" formulierte Fragestellungen und
Antworten - aber oft ginge es anhand eines konkreten Bei-
spiels wirklich deutlich einfacher, auf Fragen einzugehen und
zu merken, ob der Fragesteller nun eine gegebene Antwort
wirklich geschnallt hat oder nicht !)
LG
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