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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, die folgenden Punktfolgen auf Konvergenz und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
1) [mm] z_n \in \IR^2 [/mm] mit [mm] z_0=(1,1) [/mm] und [mm] z_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})=((x_n-y_n)/2),(x_n+y_n)/2)
[/mm]
2) [mm] x_n \in \IR^3 [/mm] mit [mm] x_n=(\bruch{log(n!)}{\wurzel{n}^3}, \bruch{(-1)^{n!}[log n]}{(-1)^{[log n]}n!}, \bruch{log(n^2)}{log(2n)}) [/mm] |
Hallo zusammen,
habe mal ne Frage bezüglich der Aufgabe.
Bei der ersten weiss ich irgendwie gar nicht wie ich die angehen soll.
Kann mir da einer helfen?
Bei der zweiten habe ich raus :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=(0,0,2)
[/mm]
Habe bei [mm] x_n_1 [/mm] so abgeschätzt:
log(n!)=log(1*2*.....*n)=log1+log2+.....+logn <nlogn
[mm] \Rightarrow \bruch{nlogn}{n*\wurzel{n}} \ge \bruch{logn!}{\wurzel{n}^3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}x_n_1= [/mm] 0 durch Anwendung von L'Hospital
Ich weiss das es bei [mm] x_n_2 [/mm] der Grenzwert 0 ist aber wie kann ich das am besten aufschreiben?Das muss ich doch irgendwie noch begründen.
Ok und bei [mm] x_n_3 [/mm] ist der Grenzwert 2 durch Anwendung von L'Hospital.
Ist das alles so richtig?
Danke für eure Hilfe
MFG Dave
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 06.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Untersuchen Sie, die folgenden Punktfolgen auf Konvergenz
> und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
>
> 1) [mm]z_n \in \IR^2[/mm] mit [mm]z_0=(1,1)[/mm] und
> [mm]z_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})=((x_n-y_n)/2),(x_n+y_n)/2)[/mm]
>
Schreib mal [mm] z_{n+1} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_{n-1} [/mm] und [mm] y_{n-1}, [/mm] d.h. ersetze in [mm] $x_{n+1}=(x_n-y_n)/2)$ [/mm] und [mm] $y_{n+1}=(x_n+y_n)/2$ [/mm] wiederum [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] durch die Rekursion.
> 2) [mm]x_n \in \IR^3[/mm] mit [mm]x_n=(\bruch{log(n!)}{\wurzel{n}^3}, \bruch{(-1)^{n!}[log n]}{(-1)^{[log n]}n!}, \bruch{log(n^2)}{log(2n)})[/mm]
> Habe bei [mm]x_n_1[/mm] so abgeschätzt:
>
> log(n!)=log(1*2*.....*n)=log1+log2+.....+logn <nlogn
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{nlogn}{n*\wurzel{n}} \ge \bruch{logn!}{\wurzel{n}^3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}x_n_1=[/mm] 0 durch
> Anwendung von L'Hospital
Richtig. =)
>
> Ich weiss das es bei [mm]x_n_2[/mm] der Grenzwert 0 ist aber wie
> kann ich das am besten aufschreiben?Das muss ich doch
> irgendwie noch begründen.
Geh strikt nach Definition des Grenzwertes. Dann wirst Du sehen, daß die [mm] $(-1)^k$ [/mm] für Konvergenz (gegen 0!) unerheblich sind, d.h. Du mußt nur zeigen, daß [mm] $\frac{\log(n)}{n!}$ [/mm] konvergiert. (btw. sollen die [] die Gaußklammer sein? Falls ja, mußt Du halt noch Abschätzen.)
>
> Ok und bei [mm]x_n_3[/mm] ist der Grenzwert 2 durch Anwendung von
> L'Hospital.
Richtig.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:08 Di 06.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
> > Untersuchen Sie, die folgenden Punktfolgen auf Konvergenz
> > und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
> >
> > 1) [mm]z_n \in \IR^2[/mm] mit [mm]z_0=(1,1)[/mm] und
> > [mm]z_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})=((x_n-y_n)/2),(x_n+y_n)/2)[/mm]
> >
> Schreib mal [mm]z_{n+1}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{n-1}[/mm] und
> [mm]y_{n-1},[/mm] d.h. ersetze in [mm]x_{n+1}=(x_n-y_n)/2)[/mm] und
> [mm]y_{n+1}=(x_n+y_n)/2[/mm] wiederum [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] durch die
> Rekursion.
>
Irgendwie habe ich bei der Teilaufgabe ein Brett vorm Kopf.....
Verstehe immer noch nicht wirklich wie du das meinst..
> Geh strikt nach Definition des Grenzwertes. Dann wirst Du
> sehen, daß die [mm](-1)^k[/mm] für Konvergenz (gegen 0!) unerheblich
> sind, d.h. Du mußt nur zeigen, daß [mm]\frac{\log(n)}{n!}[/mm]
> konvergiert. (btw. sollen die [] die Gaußklammer sein?
> Falls ja, mußt Du halt noch Abschätzen.)
>
Ja das soll ne Gaußklammer sein....
Wie soll ich denn das am besten Abschätzen?Mir fällt jetzt nix ein ausser das es null sein muss, da n! viel schneller wächst als [logn]
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> > > Untersuchen Sie, die folgenden Punktfolgen auf Konvergenz
> > > und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
> > >
> > > 1) [mm]z_n \in \IR^2[/mm] mit [mm]z_0=(1,1)[/mm] und
> > > [mm]z_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})=((x_n-y_n)/2),(x_n+y_n)/2)[/mm]
> > >
> > Schreib mal [mm]z_{n+1}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{n-1}[/mm] und
> > [mm]y_{n-1},[/mm] d.h. ersetze in [mm]x_{n+1}=(x_n-y_n)/2)[/mm] und
> > [mm]y_{n+1}=(x_n+y_n)/2[/mm] wiederum [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] durch die
> > Rekursion.
> >
> Irgendwie habe ich bei der Teilaufgabe ein Brett vorm
> Kopf.....
> Verstehe immer noch nicht wirklich wie du das meinst..
Du hast also folgendes System von Rekursionsgleichungen:
[mm]\begin{array}{rcl}
x_{n+1} &=& \frac{x_n-y_n}{2}\\
y_{n+1} &=& \frac{x_n+y_n}{2}
\end{array}[/mm]
mit der Anfangsbedingung [mm] $x_0=y_0=1$.
[/mm]
Addiere nun diese beiden Gleichungen bzw. subtrahiere sie, und Du erhälst die beiden Beziehungen:
[mm]\begin{array}{rcrcr}
x_{n+1} &+& y_{n+1} &=& x_n\\
x_{n+1} &-& y_{n+1} &=& -y_n
\end{array}[/mm]
Also gilt
[mm]\begin{array}{rcr}
x_{n+2} &=& -\frac{y_n}{2}\\
y_{n+2} &=& \frac{x_n}{2}
\end{array}
[/mm]
bzw.
[mm]\begin{array}{rcr}
x_{n+4} &=& -\frac{x_n}{4}\\
y_{n+4} &=& \frac{y_n}{4}
\end{array}
[/mm]
Also konvergieren beide Folgen [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] gegen $0$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 08.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Blech |
> > > Untersuchen Sie, die folgenden Punktfolgen auf Konvergenz
> > > und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.
> > >
> > > 1) [mm]z_n \in \IR^2[/mm] mit [mm]z_0=(1,1)[/mm] und
> > > [mm]z_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})=((x_n-y_n)/2),(x_n+y_n)/2)[/mm]
> > >
> > Schreib mal [mm]z_{n+1}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{n-1}[/mm] und
> > [mm]y_{n-1},[/mm] d.h. ersetze in [mm]x_{n+1}=(x_n-y_n)/2)[/mm] und
> > [mm]y_{n+1}=(x_n+y_n)/2[/mm] wiederum [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] durch die
> > Rekursion.
> >
> Irgendwie habe ich bei der Teilaufgabe ein Brett vorm
> Kopf.....
> Verstehe immer noch nicht wirklich wie du das meinst..
[mm]x_{n+1}=(x_n-y_n)/2)[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{n}=(x_{n-1}-y_{n-1})/2,\ y_{n}=(x_{n-1}+y_{n-1})/2[/mm]
Und jetzt wie in der anderen Antwort beschrieben, [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] einsetzen.
>
> > Geh strikt nach Definition des Grenzwertes. Dann wirst Du
> > sehen, daß die [mm](-1)^k[/mm] für Konvergenz (gegen 0!) unerheblich
> > sind, d.h. Du mußt nur zeigen, daß [mm]\frac{\log(n)}{n!}[/mm]
> > konvergiert. (btw. sollen die [] die Gaußklammer sein?
> > Falls ja, mußt Du halt noch Abschätzen.)
> >
> Ja das soll ne Gaußklammer sein....
> Wie soll ich denn das am besten Abschätzen?Mir fällt jetzt
> nix ein ausser das es null sein muss, da n! viel schneller
> wächst als [logn]
wenn es eine untere Gaußklammer ist (der Normalfall, denk ich), dann gilt [mm] $\log n\geq \lfloor \log n\rfloor$, [/mm] ist es eine obere, dann [mm] $\log(n) +1\geq \lceil \log n\rceil$
[/mm]
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