Punktspiegelung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man zeige:
a) Jede involutorische zentrische Streckung ist eine Punktspiegelung.
b) Eine Punktspiegelung ist durch ihren Fixpunkt Z eindeutig bestimmt. |
Hallo,
ich habe ma l wieder ne Geometrie-Frage. Kann mit der Aufgabe jemand etwas anfangen? Ich habe vorher gezeigt, dass jede Punktspiegelung involutorisch ist, d.h. [mm] \delta^{2}=id [/mm] .
Zu a) Da würde ich irgendwie die Voraussetzung ausnutzen. Sei also [mm] \delta [/mm] zentrische Streckung mit Zentrum Z. Dann also [mm] \delta(Z)=Z. [/mm] Dann ist außerdem nach Definition der Streckung [mm] \delta(A)\delta(B)||AB [/mm] mit [mm] A,B\in [/mm] P (Punktemenge). Und involutorisch wäre ja dann [mm] \delta^{2}(A)=A [/mm] und [mm] \delta^{2}(B)=B. [/mm] Wie bringt man das jetzt zusammen bzw. was muss denn jetzt gezeigt werden?
Zu b) Da haben wir den Tipp bekommen, anzunehmen es gäbe zwei Parallelogramme A,B,C,D und A,B,C',D' mit gemeinsamen Zentrum Z und mit dem kl. Satz von Desargues auf einen Widerspruch führen. Hat da vllt. jemand noch ne gute Idee?
Hoffe, ihr könnt mir helfen!
Grüße, Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Fr 12.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Daniel,
ich denke, das Geheimnis bei a) ist, sich den Streckungsfaktor der gegebenen zentrischen Streckung anzuschauen. Dann stellt man sich noch die folgenden Fragen:
- Was passiert mit dem Streckungsfaktor bei hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen?
- Welche Faktoren können also bei involutorischen z.S. auftreten?
- Was sind das für Abbildungen?
Zu b) habe ich jetzt auf die Schnelle nichts gefunden, da darf noch jemand anders.
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
Hallo Piet,
> Hallo Daniel,
>
> ich denke, das Geheimnis bei a) ist, sich den
> Streckungsfaktor der gegebenen zentrischen Streckung
> anzuschauen. Dann stellt man sich noch die folgenden
> Fragen:
> - Was passiert mit dem Streckungsfaktor bei
> hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen?
> - Welche Faktoren können also bei involutorischen z.S.
> auftreten?
> - Was sind das für Abbildungen?
Das ist doch gerade die Multiplikation mit dem Quadrat des Streckungsfaktors. Da die Streckung involutorisch ist, ist dieses Quadrat gerade 1. Und was folgt jetzt?
>
> Zu b) habe ich jetzt auf die Schnelle nichts gefunden, da
> darf noch jemand anders.
Bitte hier auch noch um Hilfe.
>
> Gruß
>
> piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
Wie ist Punktspiegelung denn bei euch definiert? Und wie ist zentrische Streckung definiert? Wie sowas im [mm] $\IR^n$ [/mm] per Vektordarstellung geht ist mir klar, ich weiss aber nicht was du hier benutzen darfst/kannst und wie genau das bei euch definiert ist...
> > ich denke, das Geheimnis bei a) ist, sich den
> > Streckungsfaktor der gegebenen zentrischen Streckung
> > anzuschauen. Dann stellt man sich noch die folgenden
> > Fragen:
> > - Was passiert mit dem Streckungsfaktor bei
> > hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen?
> > - Welche Faktoren können also bei involutorischen z.S.
> > auftreten?
> > - Was sind das für Abbildungen?
>
> Das ist doch gerade die Multiplikation mit dem Quadrat des
> Streckungsfaktors. Da die Streckung involutorisch ist, ist
> dieses Quadrat gerade 1. Und was folgt jetzt?
Ist [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\lambda^2 [/mm] = 1$, so ist [mm] $\lambda [/mm] = 1$ oder [mm] $\lambda [/mm] = -1$. Was sind diese beiden Faelle?
> > Zu b) habe ich jetzt auf die Schnelle nichts gefunden, da
> > darf noch jemand anders.
>
> Bitte hier auch noch um Hilfe.
Hier waer ne exakte Definition wichtig.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
danke erst mal und also hier die Definition von Punktspiegelung:
Sei A,B,C,D ein Parallelogramm. Dann existiert eine zentrische Streckung mit Fixpunkt Z also d(Z)=Z und d(A)=C. Dann habe ich bereits bewiesen, dass jede Punktspiegelung involutorisch ist. Einen Streckungsfaktor hatten wir gar nicht definiert und auch keine Bewegungen oder so was. Nur zentrische Streckung und Translationen. Reicht das als Definition?
Zentrische Streckung:
Eine Bijektion heißt Dehnung [mm]d:P\to P[/mm] heißt Dehnung, wenn für bel. Punkt [mm]A,B\in P[/mm], [mm] A\not=B [/mm] gilt AB||d(A)d(B). Die Dehnung heißt dann zentrische Streckung, falls es mind. einen Fixpunkt Z mit d(Z)=Z gibt.
VG Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> danke erst mal und also hier die Definition von
> Punktspiegelung:
>
> Sei A,B,C,D ein Parallelogramm. Dann existiert eine
> zentrische Streckung mit Fixpunkt Z also d(Z)=Z und d(A)=C.
Das ist keine Definition. Eher eine Existenzaussage fuer zentrische Streckungen, wobei nicht klar ist was Z mit A und C zu tun hat und warum man ausgerechnet ein Parallelogramm braucht.
> Dann habe ich bereits bewiesen, dass jede Punktspiegelung
> involutorisch ist. Einen Streckungsfaktor hatten wir gar
> nicht definiert und auch keine Bewegungen oder so was. Nur
> zentrische Streckung und Translationen. Reicht das als
> Definition?
Nein, das ist keine Definition und auch nichts woraus man eine Definition erraten kann. Bitte gib ne richtige Definition an 
LG Felix
|
|
|
| |
|
Okay, also hier wortwörtlich aus dem Skript:
In einem 3-dim affinen Raum bzw. einer affinen desarguesschen Ebene sei A,B,C,D ein Parallelogramm mit eigentlichen Diagonalenschnittpunkt [mm]Z=AC\cap BD[/mm]. Die Dehnung d mit Fixpunkt Z und d(A)=C heißt Punktspiegelung.
Mehr steht hier leider nicht. Ich hoffe, damit kommst du jetzt zurecht?!?
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Okay, also hier wortwörtlich aus dem Skript:
>
> In einem 3-dim affinen Raum bzw. einer affinen
> desarguesschen Ebene sei A,B,C,D ein Parallelogramm mit
> eigentlichen Diagonalenschnittpunkt [mm]Z=AC\cap BD[/mm]. Die
> Dehnung d mit Fixpunkt Z und d(A)=C heißt Punktspiegelung.
>
> Mehr steht hier leider nicht. Ich hoffe, damit kommst du
> jetzt zurecht?!?
Ja, tu ich
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
Sei [mm] $\delta$ [/mm] eine zentrische Streckung mit Zentrum $Z$ so, dass [mm] $\delta^2 [/mm] = id$ ist.
Natuerlich sollte [mm] $\delta \neq [/mm] id$ sein, ansonsten ist das nie und nimmer eine Punktspiegelung
Waehle zwei Punkte $A, B$ so, dass $A, B, Z$ nicht alle auf einer Geraden liegen. Setze $C := [mm] \delta(A)$, [/mm] $D := [mm] \delta(B)$.
[/mm]
Jetzt musst du zeigen, dass $A, B, C, D$ ein Parallelogramm ist (das sollte recht einfach sein) und dass sich die Diagonalen in $Z$ schneiden (das ist offensichtlich ). Damit ist [mm] $\delta$ [/mm] eine Punktspiegelung.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix, danke zunächst. Du bist super. Jetzt zu b). Ich habe folg. Idee:
Sei A,B,C,D ein Parallelogramm und A,B,C',D' ein weiteres Parallelogramm. Beide haben das Zentrum Z. Da wir uns in einer desarguesschen Ebene befinden, muss der kl. Satz von Desargues erfülllt sein. Die beiden Parallelogramme können nur dann dasselbe Zentrum haben, wenn C und C' bzw. D und D' nicht kollinear sind. Nach dem Satz von Desargues müssen sie das aber...? Stimmt das so? Weiter komme ich nicht!
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 15.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
