Punktwahl bei Ebenengleichunge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo ihr,
ich habe folgende Frage, Ausgang sind die beiden folgenden Gleichungen
[mm] g_{1}: [/mm] x = -z + 1 , y=2
[mm] E_{1}: [/mm] y=z
Eine Kommilitonin hat für die Ebene in Drei-Punkte-Form das raus:
[mm] E(\lambda,\mu): \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und für die Gerade: [mm] g(\lambda): \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich habe das selber mal nachgerechnet und die folgenden Gleichungen raus:
[mm] E(\lambda,\mu): \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -2} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und für die Gerade:
[mm] g(\lambda): \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -3}
[/mm]
Bei der Aufgabe ging es darum, Schnittpunkt und Schnittwinkel der Gerade mit der Ebene zu bestimmen. Ich komme mit meinen Gleichungen natürlich auf andere Werte, aber ich verstehe nicht wieso die Gleichungen falsch sein sollen.
Die Kommilitonin von mir kommt mit ihren Gleichungen auf die richtigen Werte.
Um auf die Gleichungen zu kommen, habe ich Punkte "geraten" und mir dann die Gleichungen gebildet.
Hoffe mir kann einer helfen.
Vielen dank und lieben Gruß,
Julian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nur dein g [mm] nachgeprüft:\lambda=1 [/mm] dann x=-1,z=-2 daraus [mm] -z+1=3\nex [/mm] also falsch. auf ner Geraden musst du ja wirklich nur 2 Punkte haben, die sollte man möglichst einfach wählen, z. Bsp x=0, daraus z, dann x=1 und das zugehörige z und schon hat man ne einfache Form der Geraden.
E ist scheints richtig. Deine Kollegin ist geschickter die einfachste Darstellung zu wählen, z.Bsp wenn (0,0,0) in der Ebene liegt das als Aufpunkt zu nehmen, und dann möglichst Vektoren mit Einsen. Das erleichtert das Weiterrechnen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hi leduart,
vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Aber ich kann deinen Weg der Überprüfung nicht ganz nachvollziehen, was hast du eingesetzt, um meine Geradengleichung zu überprüfen?
Danke für eine Antwort,
Gruß,
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe [mm] \lambda=1 [/mm] eingestzt, dann x und z ausgerechnet und festgestellt, dass sie nicht der geforderten Gleichung x=-z+1 entsprechen.
Du kannst natürlich auch ein beliebiges anderes [mm] \lambda [/mm] einsetzen, und x und z bestimmen und dann prüfen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo leduart,
du hast Recht, meine richtige Geradengleichung lautet nun:
[mm] g_{1}: \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Trotzdem komme ich auf ein falsches Ergebnis.
Aber theoretisch müssten diese Geradengleichung - mal abgesehen davon, dass sie verschoben sind - identisch sein, also müsste ich auch mit beiden Gleichungen auf dasselbe Ergebnis kommen.
Fällt dir so noch etwas zu den beiden Gleichungen ein, was hieran falsch sein könnte?
Danke und lieben Gruß,
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Julian,
zunächst mal eine gute Nachricht: Die Ebenengleichung stimmt, so wie ich das gerade auf die Schnelle überblicke.
Aber die Geradengleichung stimmt immer noch nicht:
In dem Stützvektor müssen die gegebenen Bedingungen natürlich auch erfüllt sein, aber [mm]x=-z[/mm] ist bei dem Vektor
[mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
nicht erfüllt.
Der Richtungsvektor hinten schaut jetzt gut aus. Versuch's mal mit folgender Geradengleichung:
[mm]g_{1}: \vektor{0 \\ 2 \\ 0} + \lambda * \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Berichte dann mal, was rauskommt.
Gruß,
Manatu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Julian,
vergiss meine obige Antwort, hab das +1 übersehen ... Deine neue Geradengleichung müssste also stimmen.
Ich denk gerade nochmal neu nach, wieso trotzdem was falsches raus kommt.
Gruß,
Manatu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Julian,
hier also neue Überlegungen:
Die Gleichungen deiner Kommilitonin sind beide korrekt. Die Gleichungen, die du von dir selbst im ersten Post geschrieben hast, sind beide falsch. Deine neue Geradengleichung stimmt aber.
Deine Ebenengleichung scheint aber aber nicht zu stimmen, da ist die von deiner Kommilitonen die richtige. (Hatte mich da eben verguckt und niht gründlich genug gelesen). Deine Ebenengleichung mutet schon deshalb seltsam an, weil ja offensichtlich der Nullvektor auf der Ebene liegt. Dann bietet es sich ja nur an, diesen auch als Stützvektor zu nehmen.
Außerdem geht aus der Bedingung hervor, dass [mm]y=z[/mm] zwar immer gleich sind, aber einen beliebigen Wert [mm]\mu[/mm] annehmen können. Außerdem kann [mm]x[/mm] ein beliebiger Wert [mm]\lambda[/mm] sein. Die Ebenengleichung, die sich daraus ergibt, ist dann die deiner Kommilitonen:
[mm]E(\lambda,\mu): \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0} + \mu * \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Ich hoffe, das hilft dir jetzt weiter.
Gruß,
Manatu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo Manatu!
Vielen Dank für die Antwort, aber so ganz verstehe ich das noch nicht, denn ich dachte - zumindest bislang immer -, dass man einfach Punkte raten kann, welche die Ebenengleichung y=z erfüllen. Deshalb ist es zwar sinnvoller den 0-Vektor als Aufpunkt zu nehmen, jedoch kann ich doch auch jeden beliebigen anderen Punkt nehmen, der in der Ebene liegt, also auch [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Hmm, gut, offensichtlich kann ich das nicht, aber ich verstehe nicht wieso das so ist. Kannst du mir das irgendwie nochmal versuchen zu erklären?
Vielen Dank und lieben Gruß,
Julian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ebenengleichung muss so sein, dass sie 2 Bedingungen erfüllt:
1. y=z das tut deine. aber
2. zu jedem Paar y=z ist jedes x möglich erfüllt deine gleichung nicht. etwa zu y=z=0 hat man nur x=0
zu y=z=1 ist nur x=7 in deiner Gleichung.Du hast also statt x beliebig noch ne Beziehung zwischen x und y.
Wenn du 3 Punkte in der Ebene nimmst, um sie zu bestimmen, musst du sie so wählen, dass sie nicht auf einer Geraden liegen.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Julian |
Klasse, das wars.. vielen Dank! 
Lieben Gruß,
Julian
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