Punktweise/gleichm. Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Di 26.04.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} 1-nx, & \mbox{für } x \le 1/n \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Ich soll nun zeigen, dass die Folge [mm] (fn(x))_{n \in Z \le 1} [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] konvergiert (also punktweise konvergiert). Aber (fn) nicht gleichmäßig konvergiert.
Nun gut, Gedanken hab ich mir ja gemacht:
Für x [mm] \le [/mm] 1/n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1-nx) [mm] \ge \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1-n*1/n)=0
Soo, aber der Grenzwert müßte =0 sein, weil wenn ich bei 1-nx das n gegen Unendlich laufen lasse, ändert das x<1 auch nichts daran, dass es negativ wird ! Und wenn was [mm] \le [/mm] 0 und [mm] \ge [/mm] 0 sein muss, dann =0
Daher doch eigentlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1-nx)=0 oder ?
sonst:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (0) = 0
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Ich weiß net, ob das so richtig ist, aber gehen wir weiter zur gleichm. Konvergenz.
Klar kenn ich die Definition der gleichm. Konvergenz, aber was ist mein f(x)?
Im Internet hab ich gefunden:
f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm]
(Einschub, wie beweist man eigentlich, dass f stetig ist, Vorrausetzung: fn glm gegen F auf [a,b])
Soo, nun muss ich ja zeigen:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \forall n\le n_{0} [/mm] gilt:
[mm] |f_{n}-f(x)|=|f_{n}-\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)|<\varepsilon
[/mm]
Ansatz:
Für x [mm] \le [/mm] 1/n:
|1-nx-0|=|1-nx| [mm] \ge [/mm] 0
sonst:
|0-0|=0
Aber nun ? Mir sagt das hier ehrlich gesagt nichts !
Wie kann ich jetzt sagen, dass es für ein Epsilon > 0 kein [mm] n_{0} [/mm] gibt ?
Auch Das Cauchy Kriterium bringt mir irgendwie auch net viel:
[mm] |f_{m}-f_{n}|=|1-mx-1+ny)|=|ny-mx| \ge [/mm] 0
Ihr seht, bin ratlos ! Und das mit dem Epsilon hab ich ja noch nie gemocht !
Danke für eure Hife !
Namarie
Faenôl
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Hallo!
Also, zuerst mal hast Du einen grundsätzlichen Denkfehler in beide Argumentationen eingebaut.
Du nimmst ein festes $x$ mit $x [mm] \leq \frac{1}{n}$. [/mm] Und dann lässt Du das $n$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen - ist das $x$ dann immer noch kleiner als [mm] $\frac{1}{n}$? [/mm] Denn diese Grenze läuft ja mit!
Also, das Vorgehen ist immer wie folgt: zunächst zeigt man, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert und zeigt gleich mit, gegen welche Funktion die punktweise konvergent ist.
Hat man das geschafft, dann hat man diese Grenzfunktion als Kandidaten für gleichmässige Konvergenz, die man dann im vorliegenden Fall nur noch widerlegen muss.
Also, zur punktweisen Konvergenz: zunächst ist klar, dass für $x = 0$ folgt: [mm] $f_n(0) [/mm] = 1$ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Also ist auch der Grenzwert 1.
Für $x > 0$ existiert ein [mm] $n_0$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \geq n_0$ [/mm] gilt: $x > [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] und damit ist [mm] $\lim_{n \to \infty} f_n(x) [/mm] = 0$ für solche $x$.
Damit ist der erste Teil gelöst - diese Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen die Funktion
$f(x) = [mm] \left\{ \begin{array}{ll} 1 \quad & \mbox{falls } x = 0 \\ 0 \quad & \mbox{falls } x \not= 0\end{array}\right.$
[/mm]
Dass diese Konvergenz nicht gleichmässig ist, ist bereits klar, wenn man an den Satz glaubt, dass Grenzwerte einer Folge stetiger Funktionen bei glm. Konvergenz wieder stetig sind - denn offensichtlich ist [mm] $f_n$ [/mm] stetig für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] aber $f$ ist es nicht mehr.
Man kann es aber auch "zu Fuss" beweisen. Ich wähle mir [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] (ziemlich willkürlich, die Hauptsache ist, dass es kleiner ist als 1) und jetzt muss ich zeigen, dass zu jedem $n [mm] \in \IN$, [/mm] egal wie gross ein $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ existiert mit [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| > [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Sei also $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig. Ich setze $x := [mm] \frac{1}{3n}$. [/mm] Dann ist $x > 0$ und damit ist $f(x) = 0$. Da ausserdem $x [mm] \leq \frac{1}{n}$ [/mm] folgt:
[mm] $f_n(x) [/mm] = 1 - nx = 1 - [mm] \frac{n}{3n} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{3} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}$.
[/mm]
Also ist [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = | [mm] \frac{2}{3} [/mm] - 0| = [mm] \frac{2}{3} [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Fertig. 
Lars
P.S.: Es hilft, sich die Funktionenfolge zu skizzieren. Was sind die Funktionen für $n = 1$, $n = 2$ etc.? Was geschieht? Im vorliegenden Fall ist immer vom Punkt $(0,1)$ auf der $y$-Achse zum Punkt [mm] $\left(\frac{1}{n}, 0 \right)$ [/mm] auf der $x$-Achse interpoliert worden (also eine Strecke gezogen) und dann auf der $x$-Achse als 0 fortgesetzt worden. Für wachsendes $n$ wandert die Stelle, wo die Funktion [mm] $f_n$ [/mm] die $x$-Achse erreicht und als konstant 0 fortgesetzt wird immer weiter nach links in Richtung Ursprung. Also kommt für festes $x > 0$ irgendwann ein $n$, ab dem der Wert nur noch 0 ist.
Punktweise geht die Folge also gegen die obige Funktion. Aber die Gleichmässigkeit ist wie der Beweis zeigt nicht gegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Di 26.04.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Daaanke ! Das hat mir sehr geholfen !
Thanx ! Mal schauen ob ichs auch wirklich verstanden habe (das werd ich bei irgendwelchen anderen Aufgaben dann sehen)
Faenôl
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