Punktweise/gleichmäßige Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Untersuchen Sie die punktweise Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^n*log\left(1 + \bruch{x}{n}\right), [/mm] x > -1
und zeigen Sie, dass die Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall [a,b] [mm] \subset [/mm] (-1,1) gleichmäßig ist.
b)
Untersuchen Sie die punktweise Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n + 1} [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^{2n}, [/mm] x [mm] \in \IR,
[/mm]
und zeigen Sie, dass die Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall, welches in [mm] (-\sqrt{2},0) [/mm] oder [mm] (0,\sqrt{2}) [/mm] enthalten ist, gleichmäßig ist. |
Hallo,
ich schildere grob meine Ideen, und würde gerne wissen, ob die so richtig sind.
zu a)
Sei x > 1. Dann ist [mm] x^n*log\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] keine Nullfolge mehr. Also ist die Reihe nicht punktweise konvergent, und somit auch nicht gleichmäßig konvergent.
Wenn x = 1, dann gilt: [mm] \bruch{1}{n} \le log\left(1 + \bruch{1}{n}\right) [/mm] für fast alle n. Aber die harmonische Reihe divergiert, also ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^n*log\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] auch nicht für x = 1 punktweise konvergent, und somit auch nicht gleichmäßig konvergent.
Für -1 < x < 1 behaupte ich, dass die Reihe punktweise konvergiert, weiß aber nicht, wie ich das abschätzen soll.
Und wie zeige ich die gleichmäßige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall [a,b] [mm] \subset [/mm] (-1,1) ? Hierfür wäre es doch gut, wenn ich die Grenzfunktion kennen würde, oder nicht?
zu b)
Für x [mm] \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}] [/mm] konvergiert die Reihe punktweise, da man dann mit dem Leibnizkriterium arbeiten kann.
Wenn x nicht in diesem Intervall liegt, zeige ich, dass [mm] \bruch{(-1)^n}{2n + 1}*(x^2 [/mm] - [mm] 1)^{2n} [/mm] keine Nullfolge ist, und somit kann die Reihe nicht konvergieren, und somit konvergiert diese nicht punktweise.
Zum letzten Teil der Aufgabe, habe ich leider keinen Ansatz, und wäre für einen Tipp dankbar.
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Di 18.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass du immer nach einer expliziten Grenzfkt. suchst um glm Konvergenz zu zeigen, ist fast nie moeglich. viele fkt, werden ja erst durch ihre Reihe definiert..
wie ist den glm. Konvergeny definiert, wenn man keine explizite Darst. der Grenzfkt hat?
Gruss leduart
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Die Definition lautet:
[mm] f_n [/mm] konvergiert gleichmäßig, wenn es eine Funktion f gibt, sodass gilt:
[mm] ||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty [/mm] = [mm] sup_{x \in X}|f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Das bringt mir meiner Meinung nach aber nicht viel, wenn ich f nicht kenne?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Definition lautet:
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> [mm]f_n[/mm] konvergiert gleichmäßig, wenn es eine Funktion f
> gibt, sodass gilt:
>
> [mm]||f_n[/mm] - [mm]f||_\infty[/mm] = [mm]sup_{x \in X}|f_n(x)[/mm] - f(x)| [mm]\to[/mm] 0
> für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Das bringt mir meiner Meinung nach aber nicht viel, wenn
> ich f nicht kenne?
richtig, das ist so ziemlich schwierig, wenn Du [mm] $f\,$ [/mm] nicht konkretisieren kannst.
Tipp: Eine Reihe ist ja nichts anderes als die Folge ihrer Teilsummen. Und
es gilt [mm] $f_n \to [/mm] f$ glm. mit einem [mm] $f\,$ [/mm] genau dann, wenn [mm] ${(f_n)}_n$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Und es gibt auch etwa ![[]](/images/popup.gif) solche interessanten Sätze (klick!)!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
mit dem Cauchy-Kriterium würde dann für Reihen folgen, dass wenn [mm] ||\summe_{k=n}^{\infty}f_k|| [/mm] eine Nullfolge ist, die Reihe gleichmäßig konvergiert (die Umkehrung gilt auch).
Das mit dem Weierstraßschen Majorantenkriterium habe ich auch schon versucht, aber ich finde weder für a) noch für b) eine Abschätzung, die größer ist, als die gegebene Reihe und trotzdem konvergiert. Mit dem Cauchy-Kriterium komme ich auch nicht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 19.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
(*) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n + 1} [/mm] $ * $ [mm] (x^2 [/mm] $ - $ [mm] 1)^{2n}, [/mm] $ x $ [mm] \in \IR, [/mm] $
Betrachte zunächst die Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n + 1}t^n
[/mm]
und überzeuge Dich davon, das diese genau für t [mm] \in [/mm] (-1,1] punktweise konvergiert.
Es folgt, dass (*) genau dann punktweise konvergiert, wenn
[mm] (x^2-1)^2 \le [/mm] 1 ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn |x| [mm] \le \wurzel{2} [/mm] ist.
FRED
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> Zu b)
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> (*) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n + 1}[/mm] * [mm](x^2[/mm] -
> [mm]1)^{2n},[/mm] x [mm]\in \IR,[/mm]
>
> Betrachte zunächst die Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n + 1}t^n[/mm]
>
> und überzeuge Dich davon, das diese genau für t [mm]\in[/mm]
> (-1,1] punktweise konvergiert.
>
> Es folgt, dass (*) genau dann punktweise konvergiert, wenn
>
> [mm](x^2-1)^2 \le[/mm] 1 ist.
>
> Das ist genau dann der Fall, wenn |x| [mm]\le \wurzel{2}[/mm] ist.
>
> FRED
Setze [mm] f_n(x) [/mm] := [mm] \bruch{x^n}{2n + 1} [/mm] für x [mm] \in [/mm] (-1,1].
Dann ist [mm] f_n(x) [/mm] monoton fallende Nullfolge für x [mm] \in [/mm] [0,1].
Mit dem Leibnizkriterium für Reihen folgt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot f_n(x) [/mm] konvergiert für jedes x [mm] \in [/mm] (0,1].
Sei nun x [mm] \in [/mm] (-1,0).
Dann gilt: [mm] (-1)^n \cdot f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{(-x)^n}{2n + 1} \le (-x)^n [/mm] für fast alle n und -x ist positiv
Die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] konvergiert für jedes |x| < 1. Also folgt mir dem Vergleichskriterium für Reihen, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot f_n(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] (-1,0) konvergiert.
Somit konvergiert diese Reihe punktweise für jedes x [mm] \in [/mm] (-1,1].
Hieraus folgt nun, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n + 1} \cdot (x^2 [/mm] - [mm] 1)^{2n} [/mm] genau dann konvergiert, wenn 0 [mm] \le (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2 \le [/mm] 1 ist, und das ist äquivalent dazu, dass |x| [mm] \le [/mm] sqrt{2} ist.
Aber wie zeige ich nun die gleichmäßige Konvergenz?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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