matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheoriePush-Forward Maß
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Maßtheorie" - Push-Forward Maß
Push-Forward Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Push-Forward Maß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:47 Do 28.09.2023
Autor: Jellal

Tag zusammen,

ich lese gerade ein Buch ueber statistische Mechanik ("Free energy computations - a mathematical perspective").

Wir betrachten ein System mit Ortskoordinaten [mm] q\in \mathcal{D}\subset\IR^{3N} [/mm] und Geschwindigkeiten [mm] p\in \IR^{3N}. [/mm] 3N steht fuer 3 Dimensionen und N Teilchen.
Im "kanonischen Ensemble" sind dies Zufallsvariablen mit Verteilung
[mm] \mu(dqdp)=\frac{1}{Z_{\mu}}e^{-H(q,p)}dqdp, [/mm] mit skalarer Hamilton-Funktion H (dies ist die Gesamtenergie des Systems) und Normalisierungskonstante [mm] Z_{\mu}. [/mm]

Da die Dimensionalitaet 3N haeufig zu groß ist, um praktische Fragestellungen anzugehen, fuehrt man sogenannte Reaktionskoordinaten [mm] \xi: \mathcal{D} \to \IR^{m} [/mm] with m<<3N ein und beschreibt das System in dieser reduzierten Form.
Die Level-Mengen von [mm] \xi [/mm] seien [mm] \Sigma(z)=\{q\in \mathcal{D}| \xi(q)=z\} [/mm] und es gelte [mm] \mathcal{D}=\bigcup_{z}\Sigma(z), [/mm]
[mm] \Sigma(z_1)\not=\Sigma(z_2) [/mm] for [mm] z_1\not=z_2, [/mm] und [mm] \Sigma(z) [/mm] ist einfach zusammenhaengend.

Im Buch wird nun gesagt, dass die Verteilung von [mm] \xi [/mm] gegeben ist durch

[mm] \mu^{\xi}(dz)=\Big( \frac{1}{Z_\mu} \integral_{\Sigma(z)\times \IR^{3N}} e^{-H(q,p)}\delta_{\xi(q)-z}(dq)dp \Big) [/mm] dz, wobei

[mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq):=\frac{\sigma_{\Sigma(z)}(dq)}{|\nabla \xi{q}|} [/mm] mit [mm] \sigma_{\Sigma(z)}(dq) [/mm] dem Flaechenmaß, das vom Lebesgue Maß auf der Submanifold [mm] \Sigma(z) [/mm] induziert wird (bin nicht so sicher mit dieser Begrifflichkeit).

Ferner wird gesagt, dass [mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq)dz [/mm] = dq, und dass [mm] \mu^{\xi} [/mm] einfach das Bildmaß von [mm] \mu [/mm] unter [mm] \xi [/mm] ist.

Mir ist nicht ganz klar, wie man auf den Ausdruck fuer [mm] \mu^{\xi} [/mm] kommt. Intuitiv macht der Ausdruck Sinn. Das [mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq) [/mm] in dem Integral erinnert etwas an die Dirac-Delta-Funktion: Um die Dichte von [mm] \xi [/mm] an der Stelle z zu bekommen, muss ich saemtliche Wahrscheinlichkeit von q,p aufsummieren, fuer die [mm] \xi(q)=z [/mm] gilt.
Rigoros mathematisch verstehe ich es aber nicht so ganz.

Das "Bild-Maß" scheint das gleiche zu sein, wie das "Push-Forward" Maß. Laut der Wikipedia-Definition []https://en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_measure, muesste aber erst mal gelten:
Sei Z eine Borelmenge in [mm] \IR^{m}. [/mm] Dann ist das Push-Forward-Maß gegeben durch

[mm] \mu^{\xi}(Z):=\mu(\xi^{-1}(Z))=\frac{1}{Z_\mu}\integral_{\xi^{-1}(Z)\times \IR^{3N}}{e^{-H(q,p)}dqdp} [/mm]  (streng genommen muesste man [mm] \xi [/mm] dafuer wohl eher definierten als Funktion auf [mm] \mathcal{D}\times \IR^{3N}). [/mm]
Wie komme ich von hier nun auf die Darstellung von [mm] \mu^{\xi} [/mm] weiter oben?

VG.
Jellal

        
Bezug
Push-Forward Maß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 01.10.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]