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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mi 14.05.2014 | | Autor: | uli001 |
| Aufgabe | Das Quadrat bildet die Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit gleich langen Kanten. Berechne Höhe und Volumen der Pyramide sowie die Koordinaten des Punktes S.
A(0/2/1), B(0/2/6), C(4/-1/6) |
Hallo zusammen,
bei oben genannter Aufgabe weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll, vielleicht hätte jemand einen Tipp für mich?
Also der Punkt D komplettiert das Dreieck ABC zum Quadrat, als Koordinaten habe ich ausgerechnet D(-4/-2/-1). Eine Seitenlänge ist als 5 LE lang.
Als Punkt M, also Mittelpunkt des Quadrats erhalten ich M(2/0,5/3,5).
Nun habe ich überlegt eine Gerade zu bilden von M in Richtung des Nullvektors der Quadratebene, also g: x= [mm] \vektor{2 \\ 0,5 \\ 3,5} [/mm] + [mm] \varepsilon \vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Als Ebene hatte ich ausgerechnet 3 x1 + 4 x2 -8= 0, mit dem Nullvektor [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Aber irgendwie bringt mich das trotzdem alles nicht wirklich weiter, wenn ich die Höhe nicht weiß.
Habe auch schon überlegt eine Strecke AS zu machen, mit gleicher Länge wie die Seitenlängen, aber das funktioniert irgendwie auch nicht....
Kann mir jemand sagen, wie hier vorgegangen werden muss?
Herzlichen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Das Quadrat bildet die Grundfläche einer Pyramide ABCDS
> mit gleich langen Kanten. Berechne Höhe und Volumen der
> Pyramide sowie die Koordinaten des Punktes S.
> A(0/2/1), B(0/2/6), C(4/-1/6)
> Hallo zusammen,
>
> bei oben genannter Aufgabe weiß ich nicht, wie ich
> vorgehen soll, vielleicht hätte jemand einen Tipp für
> mich?
>
> Also der Punkt D komplettiert das Dreieck ABC zum Quadrat,
> als Koordinaten habe ich ausgerechnet D(-4/-2/-1).
Das ist aber leider falsch. Wie hast du denn gerechnet?
> Eine
> Seitenlänge ist als 5 LE lang.
Das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als Punkt M, also Mittelpunkt des Quadrats erhalten ich
> M(2/0,5/3,5).
Auch dieser Punkt stimmt.
>
> Nun habe ich überlegt eine Gerade zu bilden von M in
> Richtung des Nullvektors der Quadratebene, also g: x=
> [mm]\vektor{2 \\ 0,5 \\ 3,5}[/mm] + [mm]\varepsilon \vektor{3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> Als Ebene hatte ich ausgerechnet 3 x1 + 4 x2 -8= 0, mit dem
> Nullvektor [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
Du meinst hier den Normalenvektor. Sowohl dieser Normalenvektor als auch deine Ebenengleichung sind richtig.
> Aber irgendwie bringt mich das trotzdem alles nicht
> wirklich weiter, wenn ich die Höhe nicht weiß.
> Habe auch schon überlegt eine Strecke AS zu machen, mit
> gleicher Länge wie die Seitenlängen, aber das
> funktioniert irgendwie auch nicht....
>
Das ist aber die richtige Idee: drücke den Punkt S aus als 'laufenden Geradenpunkt' oder wie auch immer ihr das genant habt in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] aus. In deinem Fall würde es so aussehen:
[mm] S(2+3\varepsilon|0.5+4\varepsilon|3.5)
[/mm]
Berechne nun den Abstand dieses Punktes S zu einer der vier Ecken des Quadrates in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] (zu welcher, ist aus Symmetriegründen egal). Wenn du diesen Abstand gleich 5LE setzt, hast du eine Bestimmungsgleichung für [mm] \varepsilon. [/mm] Achtung: es müssen zwei mögliche Werte und damit zwei mögliche Punkte S herauskommen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mi 14.05.2014 | | Autor: | uli001 |
Hallo Diophant,
schonmal herzlichen Dank fürs Nachrechnen und die ausführliche Antwort. Stimmt, bei D habe ich falsch gerechnet. Habe jetzt für D (4/-1/1), das sollte stimmen.
Hm, mir leuchtet das schon ein, für S [mm] (2+3\varepsilon [/mm] usw.
Nur verstehe ich leider nicht genau, wie du das mit dem Gleichsetzen von 5 LE meinst... Denn Abstand zu einem Eckpunkt muss man doch eigentlich auch nicht berechnen, der muss ja 5 LE sein, oder nicht? WEiß nur leider nicht, wie ich von hier aus weitermachen muss...
Kann ich das über die Vektorlänge machen? Also alle Punkte zum Quadrat und daraus dann die Wurzel?
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Hallo,
> Hallo Diophant,
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> schonmal herzlichen Dank fürs Nachrechnen und die
> ausführliche Antwort. Stimmt, bei D habe ich falsch
> gerechnet. Habe jetzt für D (4/-1/1), das sollte stimmen.
Ja, der stimmt jetzt.
>
> Hm, mir leuchtet das schon ein, für S [mm](2+3\varepsilon[/mm]
> usw.
> Nur verstehe ich leider nicht genau, wie du das mit dem
> Gleichsetzen von 5 LE meinst... Denn Abstand zu einem
> Eckpunkt muss man doch eigentlich auch nicht berechnen, der
> muss ja 5 LE sein, oder nicht? WEiß nur leider nicht, wie
> ich von hier aus weitermachen muss...
Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B ist bekanntlich gegeben durch
[mm] d(A,B)=\wurzel{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}
[/mm]
Dort setzt du S sowie einen der Eckpunkte ein, setzt das ganze gleich 5 und löst nach [mm] \varepsilon [/mm] auf.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 14.05.2014 | | Autor: | uli001 |
Achso... diese Formel kannte ich bisher für Abstand Punkt-Ebene, steht auch nur dafür in der Formelsammlung.
Kann es sein, dass da für [mm] \varepsilon [/mm] die Wurzel aus 0,5 rauskommt?
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Hallo,
> Achso... diese Formel kannte ich bisher für Abstand
> Punkt-Ebene, steht auch nur dafür in der Formelsammlung.
Nein, das kann nicht sein, definitiv nicht. Da musst du nochmals genau nachschauen, das ist doch nichts anderes als der Satz des Pythagoras!
> Kann es sein, dass da für [mm]\varepsilon[/mm] die Wurzel aus 0,5
> rauskommt?
Wie ich schon sagte: es gibt zwei Lösungen:
[mm] \varepsilon_{1,2}=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mi 14.05.2014 | | Autor: | uli001 |
Sorry, ich steh wohl auf dem Schlauch... Was kann definitiv nicht sein, dass es nicht in der Formelsammlung steht (das ist wirklich so) oder mein Ergebnis?
Stimmt, plus/minus Wurzel aus 0,5. Das hab ich doch (außer das negative Ergebnis vergessen). Dann ist die Höhe doch rund 3,54, oder?
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Hallo,
> Sorry, ich steh wohl auf dem Schlauch... Was kann definitiv
> nicht sein, dass es nicht in der Formelsammlung steht (das
> ist wirklich so)
Die Formel steht schon in der Formelsammlung, jedoch nicht für den Abstand Punkt-Ebene. Die von mir oben angegebene Formel ist wie schon gesagt der Abstand zwischen zwei Punkten im [mm] \IR^3. [/mm] Der Abstand Punkt-Ebene berechnet sich mit
[mm] \vec{n}=\vektor{a\\b\\c}
[/mm]
zu
[mm] d(P,E)=\bruch{|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}
[/mm]
> oder mein Ergebnis?
Das habe ich dir doch als richtig bestätigt. Ich schreibe es eben lieber exakt, ich finde diese inflationäre Verwendung von Dezimalzahlen in der Schule rund um die analytische Geometrie absolut widersinnig, ich weiß natürlich, dass dies heutzutage in der Schule so gelehrt wird.
> Stimmt, plus/minus Wurzel aus 0,5. Das hab ich doch (außer
> das negative Ergebnis vergessen). Dann ist die Höhe doch
> rund 3,54, oder?
gerundet, ja. Besser:
[mm] h=\bruch{5}{2}\wurzel{2} [/mm] LE [mm] \approx{3.54} [/mm] LE
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mi 14.05.2014 | | Autor: | uli001 |
Okay, vielen vielen Dank für die Hilfe!!!!
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