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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 So 09.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide liegt in der Ebene [mm] \varepsilon: [/mm] 4x+1y+1z=25.
Die Gleichung der Trägergeraden zweier Seitenkanten lauten:
g: [mm] X=\vektor{9 \\ 4 \\ 3}+t*\vektor{1 \\ 4 \\ 1} [/mm] h: [mm] X=\vektor{-1 \\ 4 \\ 13}+t*\vektor{3 \\ 2 \\ -2}. [/mm] Die Dritte Seitenkante steht auf die Grundfläche normal.
a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C und zeigen Sie, dass die Spitze S in S=(12/12/5) liegt. |
Hallo,
zunächst mal nur Teil a) der Aufgabe.
ich komm mit der Lösung nicht so ganz klar. Zwar hab ich eine Idee, ich erhalte aber recht seltsame Ergebnisse, die m.E. nicht richtig sein können. Daher mein Herangehen mal mündlich geschildert. Evtl. kann mir ja jemand sagen ob die Idee so richtig ist, oder was ich anders machen muss, so dass es stimmt.
Wenn ich die Punkte A, B und C bestimmen sollte. Würde ich mir die Punkte A und B aus den Ortsvektoren der beiden Gleichungen der Trägergeraden holen.
A müsste demnach (9/4/3) sein und B (-1/4/13). Da die dritte Trägergerade ja normal auf die Ebene steht, müsste dieser Normalvektor so aus der Ebenengleichung ablesbar sein. Nämlich (4/1/1), oder täusche ich mich da?
Wenn ich nun Punkt C suche, würde ich zunächst mit der Distanzformel h= [mm] \vmat{\bruch{\vec{n}*(\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A})}{|\vec{n}|}} [/mm] die Höhe bestimmen. Wenn ich dann den Normalvektor normiere und mit der Höhe multipliziere und dann an Punkt S (11/12/5) addiere, müsste ich doch direkt zu C kommen, oder? Stimmt meine Theorie so weit?
Bevor ich jetzt 2 Stunden hier die ganzen Formeln zusammenbastle, wie gesagt erst mal mündlich gefragt, auf dem Papier rechnets sich einfacher als mit dem Formeleditor ;) .
Danke und beste Grüße...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 So 09.01.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo drahmas,
zunächst mal sollte der Punkt S in der Aufgabenstellung die Koordinaten S(11/12/5) haben und nicht (12/12/5).
Die Koordinaten des Ortsvektors der Gerade g sagen zwar aus, dass der Punkt (9/4/3) auf g liegt, dieser muss aber nicht dem Eckpunkt A der Pyramide entsprechen.
Den Eckpunkt A bekommst du als Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E, analog den Eckpunkt B als Schnittpunkt von h mit der Ebene.
Die Koordinaten von S erhältst du als Schnittpunkt von g und h.
Für den Eckpunkt C musst du die Gleichung der 3.Seitenkante ausrechnen (hier brauchst du zum Aufstellen der Gleichung den Normalenvektor von E und die Spitze S) und die 3.Seitenkante schneidest du auch wieder mit E, dann hast du C.
Eine Abstandsberechnung brauchst du bei der Aufgabe nicht zu machen.
Viele Grüße
Rubi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 10.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
Parameter "t" aus g:
x = 9 + 1t
y = 4 + 4t [mm] \Rightarrow [/mm] 4*9+1t+1*4+4t+1*3+1t=25 [mm] \Rightarrow [/mm] t =-3
z = 3 + 1t
x = -1 + 3s
y = 4 + 2s [mm] \Rightarrow [/mm] 4*(-1)+3s+1*4+2s+1*13-2s=25 [mm] \Rightarrow [/mm] s =4
z = 13 - 2s
[mm] S_1=\vektor{9 \\ 4\\ 3}-3*\vektor{1 \\ 4\\ 1}=\vektor{6 \\ -8\\ 0}
[/mm]
[mm] S_2=\vektor{-1 \\ 4\\ 13}+4*\vektor{3 \\ 2\\ -2}=\vektor{11 \\ 12\\ 5}
[/mm]
So weit, so gut. Jetzt habe ich z.B. Punkt A mit [mm] \vektor{6 \\ -8\\ 0} [/mm] ausgerechnet. Der zweite Punkt [mm] \vektor{11 \\ 12\\ 5} [/mm] ist aber identisch mit S. Wie komme ich jetzt zu B und C?
Die Gleichung der dritten Seitenkante (der Geraden durch C und S, wenn ich das richtig verstanden habe) müsste dann demnach ja lauten: i: [mm] X=\vektor{11 \\ 12\\ 5}-u*\vektor{4 \\ 1\\ 1}, [/mm] oder?
Aber irgendwie fehlt der Punkt B ja komplett. Wenn ich i: [mm] X=\vektor{11 \\ 12\\ 5}-u*\vektor{4 \\ 1\\ 1} [/mm] jetzt mit der Ebene [mm] \varepsilon [/mm] schneide, erhalte ich C?
Danke und beste Grüße
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> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
>
> Parameter "t" aus g:
>
> x = 9 + 1t
> y = 4 + 4t [mm]\Rightarrow[/mm] 4*9+1t+1*4+4t+1*3+1t=25 [mm]\Rightarrow[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da fehlt (mindestens) eine Klammer um (9+1t) - und dann
ergibt sich ein anderer Wert für t ! Den dabei entstehenden
Schnittpunkt würde ich nicht mit [mm] S_1 [/mm] , sondern gerade mit A
bezeichnen (erster Eckpunkt des Grunddreiecks in der Ebene [mm] \varepsilon).
[/mm]
> t =-3
> z = 3 + 1t
>
> x = -1 + 3s
> y = 4 + 2s [mm]\Rightarrow[/mm] 4*(-1)+3s+1*4+2s+1*13-2s=25
nochmals exakt der gleiche Fehler !
interessanterweise hast du trotz dieser Fehler "schöne" ganz-
zahlige Werte für t und s erhalten ...
> [mm]\Rightarrow[/mm] s =4
> z = 13 - 2s
>
> [mm]S_1=\vektor{9 \\ 4\\ 3}-3*\vektor{1 \\ 4\\ 1}=\vektor{6 \\ -8\\ 0}[/mm]
>
> [mm]S_2=\vektor{-1 \\ 4\\ 13}+4*\vektor{3 \\ 2\\ -2}=\vektor{11 \\ 12\\ 5}[/mm]
>
> So weit, so gut. Jetzt habe ich z.B. Punkt A mit [mm]\vektor{6 \\ -8\\ 0}[/mm]
> ausgerechnet. Der zweite Punkt [mm]\vektor{11 \\ 12\\ 5}[/mm] ist
> aber identisch mit S. Wie komme ich jetzt zu B und C?
>
> Die Gleichung der dritten Seitenkante (der Geraden durch C
> und S, wenn ich das richtig verstanden habe) müsste dann
> demnach ja lauten: i: [mm]X=\vektor{11 \\ 12\\ 5}-u*\vektor{4 \\ 1\\ 1},[/mm]
> oder?
>
> Aber irgendwie fehlt der Punkt B ja komplett. Wenn ich i:
> [mm]X=\vektor{11 \\ 12\\ 5}-u*\vektor{4 \\ 1\\ 1}[/mm] jetzt mit der
> Ebene [mm]\varepsilon[/mm] schneide, erhalte ich C?
Ja, aber vergiss diesmal die Klammern nicht !
Rechne das Ganze jetzt nochmals auf korrekte Weise durch ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 10.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | d) Spiegeln Sie die Spitze S an der Geraden f: [mm] X=\vektor{5 \\ 10 \\ 13}+r*\vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] und gegen Sie die Koordinaten der gespiegelten Spitze an! Argumentieren Sie, warum Sie zur Lösung dieser Aufgabenstellung auch eine Ebene brauchen. |
Hallo,
danke :) a), b), c) habe ich nun lösen können.
Bei d) weiß ich allerdings nicht genau wie ich da nun vorgehen soll?
Wie setze ich da an?
Danke und beste Grüße
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Hallo drahmas,
> d) Spiegeln Sie die Spitze S an der Geraden f: [mm]X=\vektor{5 \\ 10 \\ 13}+r*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und gegen Sie die Koordinaten der gespiegelten Spitze an!
> Argumentieren Sie, warum Sie zur Lösung dieser
> Aufgabenstellung auch eine Ebene brauchen.
> Hallo,
>
> danke :) a), b), c) habe ich nun lösen können.
> Bei d) weiß ich allerdings nicht genau wie ich da nun
> vorgehen soll?
Zunächst muss S-X senkrecht auf dem
Richtungsvektor der Geraden f stehen.
Daraus erhältst Du das "r".
Dann ist der Spiegelpunkt: [mm]S'=S-\vektor{5 \\ 10 \\ 13}-2*r*\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Wie setze ich da an?
>
> Danke und beste Grüße
Gruss
MathePower
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