Pyramidenstumpf Volumen berech < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:09 Mi 30.09.2009 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | | In Bild ist der Achsenschnitt eines regelmäßigen vierseitigen Pyramidenstumpfes durch die Mitten einander gegenüberliegender Grundkanten dargestellt. Berechne das Volumen V des Stumpfes, wenn der Radius r=10cm der dem Stumpf einbeschriebenen Kugel bekannt ist und die obere Grundkante b=r gemacht wird. |
Hallo,
ich bin soweit gekommen, die Volumengleichung aufzustellen und da b=r ist, ist b auch 10cm. Somit habe ich nur noch a und h als Unbekannte. Nur weiß ich nun nicht weiter, wie ich h und a herausbekommen soll. Irgendwie muss ich doch die Kugel, den Radius und Pi einbringen, sonst wäre es doch bestimmt nicht angegeben ;)
Meine Idee bis jetzt ist nur, den Radius der Kugel als Höhe des Stumpfes zu nehmen dann den Pythagoras anzuwenden, um a ausrechnen zu können. Liege ich damit richtig?
Weiß jemand Rat?
Bisheriger Stand:
[mm] V_{PK}=\bruch{h}{3}(x^{2}+a*b+b^{2})
[/mm]
[mm] V_{PK}=\bruch{h}{3}(x^{2}+a*10+10^{2})
[/mm]
[mm] h=r_{Kugel}=10cm
[/mm]
Danke für Eure Hilfe!
MfG
n0rdi
Skizze!:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> In Bild ist der Achsenschnitt eines regelmäßigen
> vierseitigen Pyramidenstumpfes durch die Mitten einander
> gegenüberliegender Grundkanten dargestellt. Berechne das
> Volumen V des Stumpfes, wenn der Radius r=10cm der dem
> Stumpf einbeschriebenen Kugel bekannt ist und die obere
> Grundkante b=r gemacht wird.
> Hallo,
> ich bin soweit gekommen, die Volumengleichung aufzustellen
> und da b=r ist, ist b auch 10cm. Somit habe ich nur noch a
> und h als Unbekannte. Nur weiß ich nun nicht weiter, wie
> ich h und a herausbekommen soll. Irgendwie muss ich doch
> die Kugel, den Radius und Pi einbringen, sonst wäre es
> doch bestimmt nicht angegeben ;)
> Meine Idee bis jetzt ist nur, den Radius der Kugel als
> Höhe des Stumpfes zu nehmen dann den Pythagoras
> anzuwenden, um a ausrechnen zu können. Liege ich damit
> richtig?
>
> Weiß jemand Rat?
>
> Bisheriger Stand:
> [mm]V_{PK}=\bruch{h}{3}(x^{2}+a*b+b^{2})[/mm]
> [mm]V_{PK}=\bruch{h}{3}(x^{2}+a*10+10^{2})[/mm]
> [mm]h=r_{Kugel}=10cm[/mm]
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> MfG
> n0rdi
>
>
> Skizze!:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo Thomas,
ein regelmäßiger Pyramidenstumpf mit einer Inkugel
(welche Grund-, Deck- und alle Seitenflächen berührt),
ist eine absolute Spezialität. Berechne zuerst die
wesentlichen Winkel, die man in der Seitenansicht
sehen kann, also z.B. den Neigungswinkel der Seiten-
flächen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 30.09.2009 | | Autor: | n0rdi |
Aber ich hab doch nur die obere Seite und den Radius, der aber nicht nicht die Länge von a oder einer der Seiten hat.
Ich hätte ja nur die Höhe mit 10 cm, aber ich brauch doch entweder eine Seitenlänge, a oder einen Winkel, jedoch fehlt mir alles ;)
Durch die Höhe kann ich aber ein rechtwinkliges Dreieck mit h bilden, oder?
edit:
oder ist es sinnvoll, das in 2 gleiche Dreiecke und ein Rechteck mit (hier:!) a=b und b=h zu teilen?
Die Höhe ist demnach doch 2r=20cm oder?
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> Aber ich hab doch nur die obere Seite und den Radius, der
> aber nicht nicht die Länge von a oder einer der Seiten
> hat.
> Ich hätte ja nur die Höhe mit 10 cm, aber ich brauch
> doch entweder eine Seitenlänge, a oder einen Winkel,
> jedoch fehlt mir alles ;)
>
> Durch die Höhe kann ich aber ein rechtwinkliges Dreieck
> mit h bilden, oder?
>
> edit:
>
> oder ist es sinnvoll, das in 2 gleiche Dreiecke und ein
> Rechteck mit (hier:!) a=b und b=h zu teilen?
> Die Höhe ist demnach doch 2r=20cm oder?
Wenn du dir eine genaue Zeichnung (wie deine Skizze,
aber sinnvollerweise größer !) machst, kannst du sogar
auch ohne Kenntnis des Kugelradius' sehr wohl mit ein
bisschen Trigonometrie den Neigungswinkel der Pyra-
midenseitenflächen berechnen !
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mi 30.09.2009 | | Autor: | weduwe |
mit dem strahlensatz bzw. ähnlichen dreiecken findet man, dass für die untere seite s = 4r gilt, wenn die obere die länge r hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 30.09.2009 | | Autor: | n0rdi |
mh irgendwie seh ich da nichts :(
ich habe wie gesagt ja nur die Seite b und die Höhe
Mit dem Strahlensatz ergibt bestimmt Sinn, jedoch weiß man doch gar nicht wie die lang a ist, bzw, in welchem Verhältnis es zu b steht?
oh man, ich glaube ich steh voll auf dem Schlauch :/
Was ist mit meiner Idee? Kann ich mir die aus dem Kopf schlagen, weil mir momentan nur das entgegen kommt...
Und was ist mit einem gleichschenkligen Trapez? mit Inkreis?^^ Hilft mir das weiter beim Winkel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mi 30.09.2009 | | Autor: | weduwe |
die beiden gelben 3ecke sind ähnlich, woraus folgt:
[mm]\frac{r}{2}:r=r:x\to x=2r [/mm]
wie oben angegeben 
damit hast du alles, um das volumen zu berechnen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:03 Mi 30.09.2009 | | Autor: | n0rdi |
zu weduwe:
Hab ich das nun so richtig verstanden?:
du hast den Strahlensatz verwendet und r/2 ist die obere halbe Kante und das r ist die Gerade, die mit r beschriftet ist?
und das x ist die untere Gerade, somit das halbe a?
wörtlich:
das Verhältnis der Oberen zur Mittleren ist gleich das Verhältnis von der Mittleren zur Unteren!
zu abakus:
ähnlich verstehe ich (das eine Dreieck kann so gespiegelt, gedreht bzw skaliert werden, sodass es das andere entspricht, dazu gehört auch SSW, SWS, WSW, etc.)
Jedoch weiß ich nicht, woher man das so ohne Weiteres weiß - genau wie bei weduwes zeichnung. Woran erkennt man so, dass die ähnlich sind und dass folglich der Winkel 90° ist?
Mir fällt gerade nur sehr schwach ein, dass jeder Punkt auf einem Kreis, der eine Gerade als Durchmesser hat, mit der Geraden ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Passt das?^^
Sorry, jedoch habe ich, wie ich bemerke, eine größere Lücke in Geometrie bzw. in diesem Abschnitt:(
EDIT: Ich hab nun als Ergebnis 14000ccm heraus bekommen - mit a=4r & b=r & h=2r & r=10cm. Falls ihr gerechnet haben solltet, habt Ihr das auch heraus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 02.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 30.09.2009 | | Autor: | abakus |
> mh irgendwie seh ich da nichts :(
> ich habe wie gesagt ja nur die Seite b und die Höhe
>
> Mit dem Strahlensatz ergibt bestimmt Sinn, jedoch weiß man
> doch gar nicht wie die lang a ist, bzw, in welchem
> Verhältnis es zu b steht?
> oh man, ich glaube ich steh voll auf dem Schlauch :/
>
> Was ist mit meiner Idee? Kann ich mir die aus dem Kopf
> schlagen, weil mir momentan nur das entgegen kommt...
>
> Und was ist mit einem gleichschenkligen Trapez? mit
> Inkreis?^^ Hilft mir das weiter beim Winkel?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
der grüne Winkel ist 90° (warum?).
Die beiden gefärbten Dreiecke sind deshalb ähnlich (warum)?
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rabilein1 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
> der grüne Winkel ist 90° (warum?).
> Die beiden gefärbten Dreiecke sind deshalb ähnlich (warum?)
warum? - ja, genau. Das ist die Frage.
Dass die gelbe Fläche und die gelb gepunktete Fläche identisch sind, kann man noch erkennen. Auch die andere Farbe und die entsprechend gepunktete, das geht noch so einigermaßen.
Aber den Zusammenhang zwischen der gelben und der anderen...
Da muss man doch wohl um zwei oder drei Ecken denken. Der rechte Winkel lässt sich jeweils erkennen. Aber warum sind die anderen Winkel identisch?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mi 30.09.2009 | | Autor: | weduwe |
die ähnlichkeit folgt ganz einfach daraus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mi 30.09.2009 | | Autor: | abakus |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> > der grüne Winkel ist 90° (warum?).
> > Die beiden gefärbten Dreiecke sind deshalb ähnlich
> (warum?)
>
> warum? - ja, genau. Das ist die Frage.
>
> Dass die gelbe Fläche und die gelb gepunktete Fläche
> identisch sind, kann man noch erkennen. Auch die andere
> Farbe und die entsprechend gepunktete, das geht noch so
> einigermaßen.
>
> Aber den Zusammenhang zwischen der gelben und der
> anderen...
> Da muss man doch wohl um zwei oder drei Ecken denken. Der
> rechte Winkel lässt sich jeweils erkennen. Aber warum sind
> die anderen Winkel identisch?
Hallo,
an geschnittenen Parallelen ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°.
Die Verbindungen von den Eckpunkten zum gemeinsamen Inkreismittelpunkt sind jeweils Winkelhalbierende. Damit ergänzen sich die halben Winkel zu 90° (und der grüne Winkel ist das, was dann zur Innenwinkelsumme 180° noch fehlt, also 90°
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Innenwinkeln übereinstimmen.
Beide Dreiecke haben einen rechten Winkel. Ein zweites übereinstimmendes Winkelpaar sollte jetzt zu finden sein.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Naja, wenn man die Figur groß genug zeichnet und alles ordentlich beschriftet, dann lassen sich die Ähnlichkeiten der Dreiecke nachvollziehen.
Ursprünglich war die Figur jedoch fipselig-klein, und sie war lückenhaft beschriftet.
Dann ist das schwierig nachvollziehbar für jemand, der nicht täglich damit befasst ist.
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