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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Di 22.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne die Höhen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche (a=40 cm).
Die Pyramide wird parallel zur Grundfläche so geschnitten, dass zwei Teile entstehen, die dasselbe Volumen haben sollen. |
Moin,
zunächst habe ich die Gesamtpyramide, mit dem Volumen:
[mm] V_{ges} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}* G_{1}*h [/mm]
[mm] G_{1}=40*40 [/mm] = 1600 [mm] cm^2
[/mm]
Nach Teilung entsteht eine obere Pyramide, für deren Volumen gilt:
[mm] V_{obere-pyramide} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}* G_{2}*h_{2}
[/mm]
... und ein Pyramidenstumpf, mit dem Volumen:
[mm] V_{stumpf} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}* h_{1}* (G_{1} [/mm] + [mm] \wurzel{G_{1}*G_{2}} [/mm] + [mm] G_{2})
[/mm]
ferner ist h = [mm] h_{1} [/mm] + [mm] h_{2}
[/mm]
weiter. da die beiden Teile dasselbe Volumen haben sollen, gilt:
[mm] \bruch{1}{2}* V_{ges} [/mm] = [mm] V_{obere-pyramide}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}* V_{ges} [/mm] = [mm] V_{stumpf}
[/mm]
zuerst habe ich [mm] V_{ges} [/mm] weiter berechnet:
[mm] V_{ges} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*40^2*h [/mm] = 533,33*h
[mm] \bruch{1}{2}* V_{ges} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}* G_{2}*h_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{800* h}{h_{2}} [/mm] = [mm] G_{2}
[/mm]
dies eingesetzt in
[mm] V_{stumpf} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}* h_{1}* (G_{1} [/mm] + [mm] \wurzel{G_{1}*G_{2}} [/mm] + [mm] G_{2})
[/mm]
[mm] V_{stumpf} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}* h_{1}* [/mm] (1600 + [mm] \wurzel{ \bruch{1600*800* h}{h_{2}} G_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{800* h}{h_{2}})
[/mm]
nun frage ich mich, wie weiter? ist das nicht zu kompliziert / gibt es einen einfacheren Weg?
und wie mache ich am besten weiter?
danke&gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 22.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Es dürfte noch etwas einfacher werden, wenn Du einen der Strahlensätze verwendest:
[mm] $\bruch{a_1}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_2}{h_2}$ $\gdw$ $a_2 [/mm] \ = \ [mm] a_1*\bruch{h_2}{h} [/mm] \ = \ [mm] 40*\bruch{h_2}{h}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $G_2 [/mm] \ = \ [mm] a_2^2 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ 40*\bruch{h_2}{h} \ \right)^2 [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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