Pythagoräisches Zahlentripel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Es sei (x,y,z) ein pythagoräisches Zahlentripel. Zeige: 12 teilt xy und 60 teilt xyz.
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Hallo,
wie geht man an so eine Aufgabe heran? Wir haben leider nicht viel zu pythagoräischen Zahlentripeln gemacht.
Kann ich einfach annehmen es handle sich um ein primitives Zahlentripel?? Nein, oder??
Muss ich hier mit dem ggT arbeiten??
Ich hab leider keine Idee.
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Hübsche Aufgabe.
Ein paar Tipps bzw. Möglichkeiten zu Ansätzen findest Du vielleicht auf ![[]](/images/popup.gif) dieser kleinen Seite.
Für den ersten Teil der Aufgabe empfiehlt sich die Untersuchung von [mm] (x+y)^2.
[/mm]
Für den zweiten Teil würde ich es z.B. mit [mm] \a{}(z-x)*(z-y)*(x+y) [/mm] versuchen. Das funktioniert vielleicht nicht, aber danach weißt Du sehr wahrscheinlich, was für ein Term Dir weiterhelfen würde.
Eine ggT-Betrachtung hilft nicht weiter, im Gegenteil: beschränke Dich auf primitive pythagoräische Tripel (allerdings musst Du zeigen, warum das oBdA geht).
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:46 Di 09.12.2008 | | Autor: | Eliza |
Hallo reverend!
Ich muss die gleiche Aufgabe lösen und habs mal mit deinem Tipp versucht. Beim ersten Teil hab ich nun folgendes:
[mm] $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=z^2+2xy$
[/mm]
also
[mm] $(x+y)^2-z^2=2xy$
[/mm]
Das bedeutet die Aufgabenstellung kann man umformen zu
[mm] $24|(x+y)^2-z^2$
[/mm]
und das wiederum zu
$24|(x+y+z)(x+y-z)$
Aber hier komm ich nicht weiter. Wie kann ich denn das nun zeigen? Vermutlich muss ich hier nochmal verwenden, dass (x,y,z) ein pythagoräisches Tripel ist, aber wie?
Danke schonmal, viele Grüße
Eliza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 09.12.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es sei (x,y,z) ein pythagoräisches Zahlentripel. Zeige: 12
> teilt xy und 60 teilt xyz.
Mein etwas anderer Vorschlag: Man weiß - und das benutze ich hier mal ohne Beweis -, daß pythagoräische Zahlentripel so aussehen:
x = [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2, [/mm] y = 2ab, z = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
Damit kann man xy hinschreiben, d. h. durch a und b ausdrücken. Und dann hechelt man die Möglichkeiten durch. Ist a oder b gerade, dann ist y durch 4 teilbar. Sind beide ungerade, dann ist x gerade und y auch, also xy auch durch 4 teilbar. Ist a oder b durch 3 teilbar, dann auch y, also auch xy. Sind a und b beide nicht durch 3 teilbar, aber mit gleichem Rest, dann lassen die Quadrate den gleichen Rest, also ist x durch 3 teilbar. Insgesamt ergibt sich die Teilbarkeit von xy durch 12.
Jetzt muß man noch für xyz die 5 abarbeiten, wozu ich aber keine Lust mehr habe.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 09.12.2008 | | Autor: | Eliza |
Hey statler!
Mensch, das ist super, danke! So hats geklappt!
Kann bitte jemand meine Frage auf erledigt setzen?
Viele Grüße
Eliza
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