Q-lineare Abbildung R nach R < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 29.04.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Existenz einer [mm] \IQ-linearen [/mm] Abbildung [mm] \varphi: \IR \to \IR
[/mm]
für die gilt:
Es existiert kein [mm] x\in \IR [/mm] mit [mm] \varphi(a)=x*a \forall a\in \IR [/mm] |
Heyho
Wäre [mm] \varphi [/mm] ja [mm] \IR-linear, [/mm] so würde eine solche Abbildung ja garnicht existieren...
Hier wird also [mm] \IR [/mm] als unendlichdimensionaler [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] betrachtet.
Eine lineare Abbildung ist ja eindeutig bestimmt durch ihre Werte auf den Basisvektoren. Aber wie kann ich [mm] \varphi [/mm] auf einer Basis des [mm] \IR [/mm] bzgl. [mm] \IQ [/mm] angeben? Wie sieht so eine Basis überhaupt aus? Sicherlich enthält sie ein Element aus [mm] \IQ [/mm] selbst...
Und dann ist ja noch nachzurechnen, dass das tatsächlich nicht die Multiplikation mit einem Skalar (bzw. in diesem Fall Vektor) ist.
Grüße
icarus89
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie die Existenz einer [mm]\IQ-linearen[/mm] Abbildung
> [mm]\varphi: \IR \to \IR[/mm]
> für die gilt:
> Es existiert kein [mm]x\in \IR[/mm] mit [mm]\varphi(a)=x*a \forall a\in \IR[/mm]
>
> Heyho
>
> Wäre [mm]\varphi[/mm] ja [mm]\IR-linear,[/mm] so würde eine solche
> Abbildung ja garnicht existieren...
> Hier wird also [mm]\IR[/mm] als unendlichdimensionaler
> [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] betrachtet.
>
> Eine lineare Abbildung ist ja eindeutig bestimmt durch ihre
> Werte auf den Basisvektoren.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Vorüberlegungen sind gut.
Überlege Dir nun, daß 1 und [mm] \wurzel{2} [/mm] linear unabhängig sind.
Also kannst Du sie (wie auch immer...) zu einer Basis ergänzen.
Lineare Abbildungen sind durch die Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Nun weise den beiden Vektoren Funktionswerte zu, so daß es kracht...
Gruß v. Angela
Aber wie kann ich [mm]\varphi[/mm] auf
> einer Basis des [mm]\IR[/mm] bzgl. [mm]\IQ[/mm] angeben? Wie sieht so eine
> Basis überhaupt aus? Sicherlich enthält sie ein Element
> aus [mm]\IQ[/mm] selbst...
> Und dann ist ja noch nachzurechnen, dass das tatsächlich
> nicht die Multiplikation mit einem Skalar (bzw. in diesem
> Fall Vektor) ist.
>
> Grüße
> icarus89
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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