QM: Dichtematrix < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:47 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Die Dichtematrix ist definiert als [mm] \rho [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|).
[/mm]
Zeige, dass für eine allgemeine Dichtematrix gilt:
[mm] \rho^2=\rho
[/mm]
genau dann wenn:
eines der [mm] p_i [/mm] gleich 1 ist und alle anderen gleich 0 sind.
Tipp für eine Richtung des Beweises:
Berechne die Spur von beiden Seiten von [mm] \rho^2=\rho [/mm] |
Hallo,
die eine Richtung des Beweises habe ich:
sei [mm] p_j [/mm] = 1 alle anderen [mm] p_i [/mm] = 0
Dann:
[mm] \rho [/mm] = [mm] |\Psi_j><\Psi_j|
[/mm]
=>
[mm] \rho^2 =|\Psi_j><\Psi_j||\Psi_j><\Psi_j|=|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_j><\Psi_j|=|\Psi_j><\Psi_j|=\rho
[/mm]
Mit der anderen Richtung habe ich aber meine Probleme:
Ich weiss wohl, dass die Spur der Dichtematrix =1 ist:
[mm] Spur(\rho)=1=Spur(\rho^2)
[/mm]
aber ich komme irgendwie nicht weiter!
Viele Grüsse,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 23.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Dichtematrix ist definiert als [mm]\rho[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|).[/mm]
>
> Zeige, dass für eine allgemeine Dichtematrix gilt:
> [mm]\rho^2=\rho[/mm]
> genau dann wenn:
> eines der [mm]p_i[/mm] gleich 1 ist und alle anderen gleich 0
> sind.
>
> Tipp für eine Richtung des Beweises:
> Berechne die Spur von beiden Seiten von [mm]\rho^2=\rho[/mm]
> Hallo,
>
> die eine Richtung des Beweises habe ich:
>
> sei [mm]p_j[/mm] = 1 alle anderen [mm]p_i[/mm] = 0
> Dann:
> [mm]\rho[/mm] = [mm]|\Psi_j><\Psi_j|[/mm]
> =>
> [mm]\rho^2 =|\Psi_j><\Psi_j||\Psi_j><\Psi_j|=|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_j><\Psi_j|=|\Psi_j><\Psi_j|=\rho[/mm]
>
> Mit der anderen Richtung habe ich aber meine Probleme:
>
> Ich weiss wohl, dass die Spur der Dichtematrix =1 ist:
> [mm]Spur(\rho)=1=Spur(\rho^2)[/mm]
>
> aber ich komme irgendwie nicht weiter!
Rechne die Spur von [mm]\sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|)[/mm] aus, sie ist [mm] \sum_{i=1}^N p_i[/mm]. Nun rechne die Spur von [mm] $\rho^2$ [/mm] aus und setze gleich!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 24.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
die Spur von [mm] \sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|) [/mm] habe ich schon berechnet, und kann dein Ergebnis bestätigen 
Spur von [mm] \rho^2:
[/mm]
[mm] Spur(\rho^2)=Spur(\sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|)\sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|)) [/mm] = [mm] Spur(\sum_{i=1,j=1}^N(p_i p_j|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|))
[/mm]
Das kann ich jetzt aber nicht weiter vereinfachen, da die [mm] |\Psi_i> [/mm] ja nicht notwendigerweise orthogonal sein müssen. d.h. im Allg. [mm] <\Psi_i|\Psi_j>\not=\delta_{ij}
[/mm]
Gruss,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 24.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Spur von [mm]\rho^2:[/mm]
>
> [mm]Spur(\rho^2)=Spur(\sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|)\sum_{i=1}^N(p_i |\Psi_i><\Psi_i|))[/mm]
> = [mm]Spur(\sum_{i=1,j=1}^N(p_i p_j|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|))[/mm]
>
> Das kann ich jetzt aber nicht weiter vereinfachen, da die
> [mm]|\Psi_i>[/mm] ja nicht notwendigerweise orthogonal sein müssen.
> d.h. im Allg. [mm]<\Psi_i|\Psi_j>\not=\delta_{ij}[/mm]
Das ist richtig, aber du kannst die Spur ausrechnen:
[mm]\mathop{\mathrm{Spur}} \sum_{i=1,j=1}^N(p_i p_j|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|) = \sum_{i=1,j=1}^Np_ip_j <\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>\delta_{ij} = \sum_{i=1}^N p_i^2 |<\Psi_i|\Psi_i>|^2 = \sum_{i=1}^N p_i^2 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
Aha, es gilt also:
[mm] \summe_{i=1}^{n}p_i=\summe_{i=1}^{n}p_i^2
[/mm]
d.h. alle [mm] p_i [/mm] sind entweder = 0 oder gleich=1 (oder ein paar sind =0 und der rest =1)
Aber weil für die [mm] p_i [/mm] ja ausserdem gelten muss:
[mm] \summe_{i=1}^{n}p_i=1
[/mm]
kann ja maximal ein einziges [mm] P_i [/mm] =1 sein, d.h. die anderen [mm] p_i [/mm] sind =0.
Richtig?
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Gruss,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Fr 25.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aha, es gilt also:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}p_i=\summe_{i=1}^{n}p_i^2[/mm]
>
> d.h. alle [mm]p_i[/mm] sind entweder = 0 oder gleich=1 (oder ein
> paar sind =0 und der rest =1)
>
> Aber weil für die [mm]p_i[/mm] ja ausserdem gelten muss:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}p_i=1[/mm]
>
> kann ja maximal ein einziges [mm]P_i[/mm] =1 sein, d.h. die anderen
> [mm]p_i[/mm] sind =0.
>
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Rainer,
vorhin war ich der Meinung, ich hätte diese Schritte verstanden, doch jetzt scheinen sie mir nicht mehr so klar. Daher muss nochmal fragen:
Wie geht das:
[mm] \mathrm{Spur} \sum_{i=1,j=1}^N(p_i p_j|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|) [/mm] = [mm] \sum_{i=1,j=1}^Np_ip_j <\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>\delta_{ij}
[/mm]
[mm] <\Psi_i|\Psi_j> [/mm] ist ja ein Skalar, man kann es also einfach vorziehen. Aber wie machst du aus [mm] |\Psi_i><\Psi_j| [/mm] ein [mm] <\Psi_j|\Psi_i>?
[/mm]
und wie funktioniert das folgendes?
[mm] \sum_{i=1,j=1}^Np_ip_j <\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>\delta_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^N p_i^2 |<\Psi_i|\Psi_i>|^2
[/mm]
Viele Grüsse,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Sa 26.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> vorhin war ich der Meinung, ich hätte diese Schritte
> verstanden, doch jetzt scheinen sie mir nicht mehr so klar.
> Daher muss nochmal fragen:
>
> Wie geht das:
> [mm]\mathrm{Spur} \sum_{i=1,j=1}^N(p_i p_j|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|)[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1,j=1}^Np_ip_j <\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>\delta_{ij}[/mm]
>
> [mm]<\Psi_i|\Psi_j>[/mm] ist ja ein Skalar, man kann es also einfach
> vorziehen. Aber wie machst du aus [mm]|\Psi_i><\Psi_j|[/mm] ein
> [mm]<\Psi_j|\Psi_i>?[/mm]
Das ist die Definition der Spur. Mit einer Orthonormalbasis [mm] $|u_k>$ [/mm] ist die Spur
[mm] \mathrm{Spur} \sum_{i=1,j=1}^N(p_i p_j|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|) = \sum_{i,j,k} p_ip_j <\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|u_k> = \sum_{i,j} p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j> \sum_k <\Psi_j|u_k> [/mm]
und [mm] $\sum_k <\Psi_j|u_k>=<\Psi_j|\Psi_i> [/mm] = [mm] \delta_{ij}$, [/mm] da die [mm] $\Psi_i$ [/mm] orthogonal sein müssen.
> und wie funktioniert das folgendes?
> [mm]\sum_{i=1,j=1}^Np_ip_j <\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>\delta_{ij}[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^N p_i^2 |<\Psi_i|\Psi_i>|^2[/mm]
[mm] \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\not=j \end{cases} [/mm]
Also bleiben nur die Terme mit i=j übrig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
> und [mm]\sum_k <\Psi_j|u_k>=<\Psi_j|\Psi_i> = \delta_{ij}[/mm],
> da die [mm]\Psi_i[/mm] orthogonal sein müssen.
>
Hmm, laut Vorlesung müssen die [mm] |\Psi_i> [/mm] nicht notwendigerweise orthogonal sein. (habe ich bereits oben gesagt, und du hast zugestimmt)
Zum anderen Punkt:
Dass [mm] \delta_ij [/mm] = 1 für i=j, sonst =0 ist, habe ich gewusst. Mir ging es eher darum, woher die Betragsstriche kommen:
[mm] <\Psi_i|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_i>\stackrel{?}{=}|<\Psi_i|\Psi_i>|^2
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Sa 26.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > und [mm]\sum_k <\Psi_j|u_k>=<\Psi_j|\Psi_i> = \delta_{ij}[/mm],
> > da die [mm]\Psi_i[/mm] orthogonal sein müssen.
> >
>
> Hmm, laut Vorlesung müssen die [mm]|\Psi_i>[/mm] nicht
> notwendigerweise orthogonal sein. (habe ich bereits oben
> gesagt, und du hast zugestimmt)
Ja,sorry, war zuspät heute nacht.
[mm] $\rho$ [/mm] ist hermitesch, ist damit diagonalisierbar und hat reelle Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren [mm] $|y_k>$. [/mm] Damit lässt sich [mm] $\rho$ [/mm] darstellen als
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \sum_k w_k |y_k>
Da die [mm] $y_k$ [/mm] orthogonal sind folgt aus [mm] $\rho=\rho^2$ [/mm] mit dem obigen Argument, dass alle [mm] $w_k$ [/mm] bis auf eines 0 sein müssen, z.B. [mm] $w_1$. [/mm] Damit gibt ist
[mm]\rho = |y_1>
Also beschreibt dieses [mm] $\rho$ [/mm] einen reinen Zustand. Dann müssen aber auch auch [mm] $p_k$ [/mm] bis auf eines 0 sein. (Das kannst doch auch direkt über die Rücktransformation in die Darstellung mit den [mm] $\Psi_i$ [/mm] sehen.)
>
> Zum anderen Punkt:
> Dass [mm]\delta_ij[/mm] = 1 für i=j, sonst =0 ist, habe ich
> gewusst. Mir ging es eher darum, woher die Betragsstriche
> kommen:
>
> [mm]<\Psi_i|\Psi_i><\Psi_i|\Psi_i>\stackrel{?}{=}|<\Psi_i|\Psi_i>|^2[/mm]
Ganz allgemein ist $<b|a> = [mm] \overline{} \implies [/mm] <a|b> <b|a> = [mm] ||^2$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Rainer,
jetzt bin ich komplett durcheinander.
> mit dem
> obigen Argument, dass alle [mm]w_k[/mm] bis auf eines 0 sein
Was meinst du mit "obigen Argument"? [mm] \rho [/mm] = [mm] \sum_k w_k |y_k>
Vielen Dank für Deine Geduld!
Gruß,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Sa 26.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> jetzt bin ich komplett durcheinander.
>
> > mit dem
> > obigen Argument, dass alle [mm]w_k[/mm] bis auf eines 0 sein
>
> Was meinst du mit "obigen Argument"?
Die Gleichungskette, wenn die Zustände orthogonal sind.
> Falls ja, sehe ich das richtig, dass wir das ganze
> [mm]Spur(\rho)[/mm] und [mm]Spur(\rho^2)[/mm] "Gedöns" gar nicht gebraucht
> haben?
Genau dafür haben wir es gebraucht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 So 27.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
ich verstehe es immer noch nicht:
haben wir gebraucht:
[mm] Spur(\rho)=\sum(p_i^2)
[/mm]
?? falls ja, diese Rechnung habe ich ja eben nicht verstanden. Du hast irgendwann mit der orthogonalität der [mm] |\Psi_i> [/mm] argumentiert, was du ja dann auch wieder revidiert hast.
Könntest du mir die Argumentationskette nochmal zusammenstellen? Ich habe nämlich den roten Faden verloren...
Viele Grüße,
Rutzel
Hier einmal, wie ich es rechne:
[mm] Spur(\rho^2)=\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j>\sum_k<\Psi_j|u_k>)
[/mm]
[mm] =\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j>\sum_k<\Psi_j|u_k>)
[/mm]
[mm] =\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>
[/mm]
weil [mm] \sum_k<|u_k>
weiter im text:
[mm] \sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>
[/mm]
=
[mm] \sum_{i,j}(p_ip_j|<\Psi_i|\Psi_j>|^2
[/mm]
so würde ich das rechnen. (wahrscheinlich ist das aber flasch...)
EDIT:
kann ich nicht doch annehmen, dass die [mm] \Psi_i [/mm] orthogonal sind, da [mm] \rho [/mm] hermitesch ist, somit eine Orthogonalbasis existiert? (und wegen der Spurinvarianz unter Baiswechsel ist es sowieso egal, in welcher Basis ich sie ausrechne)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 So 27.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich verstehe es immer noch nicht:
>
> haben wir gebraucht:
>
> [mm]Spur(\rho)=\sum(p_i^2)[/mm]
>
> ?? falls ja, diese Rechnung habe ich ja eben nicht
> verstanden. Du hast irgendwann mit der orthogonalität der
> [mm]|\Psi_i>[/mm] argumentiert, was du ja dann auch wieder revidiert
> hast.
>
> Könntest du mir die Argumentationskette nochmal
> zusammenstellen? Ich habe nämlich den roten Faden
> verloren...
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
>
> Hier einmal, wie ich es rechne:
>
> [mm]Spur(\rho^2)=\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j>\sum_k<\Psi_j|u_k>)[/mm]
>
> [mm]=\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j>\sum_k<\Psi_j|u_k>)[/mm]
> [mm]=\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>[/mm]
> weil [mm]\sum_k<|u_k>
> weiter im text:
> [mm]\sum_{i,j}(p_ip_j<\Psi_i|\Psi_j><\Psi_j|\Psi_i>[/mm]
> =
> [mm]\sum_{i,j}(p_ip_j|<\Psi_i|\Psi_j>|^2[/mm]
Wenn die [mm] $|\Psi_i>$ [/mm] orthogonal sind, folgt [mm] $\rho^2=\sum p_i^2$. [/mm] Wenn sie es nicht sind, ist es ziemlich mühsam nachzuweisen, dass nur eines der [mm] $p_i$ [/mm] ungleich 0 ist.
Wie ich schrieb, gibt es eine Darstellung der Dichtematrix durch ihre Eigenvektoren, die formal genauso aussieht:
[mm] \rho = \sum w_i |y_i>
Da die Eigenvektoren orthogonal sind, folgt [mm] $\rho^2= \sum w_i^2$. [/mm] Also folgt aus [mm] $\rho=\rho^2$, [/mm] dass nur eines der [mm] $w_i$ [/mm] von Null verschieden ist, z.B. [mm] $w_1$; [/mm] also ist [mm] $\rho [/mm] = [mm] w_1 |y_1>$ [/mm] gelten.
Wenn du willst, kannst du die letzte Aussage explizit nachrechnen, indem du die [mm] $|\Psi_i>$ [/mm] als Linearkombinationen der [mm] $$ [/mm] ansetzt. Die Transformationsmatrix zwischen beiden ist ja gerade die Ähnlichkeitstransformation, die [mm] $\rho$ [/mm] in die Diagonalform (*) bringt.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Rutzel |
Danke!
viele grüsse.
rutzel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 27.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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