QM: Eigenwertfunktionen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 20.10.2015 | | Autor: | Boson |
| Aufgabe | Die Eigenfunktionen für ein Potentialkasten [mm] (\infty [/mm] -hohe Wände) der Breite a lauten:
[mm] \varphi_{n}(x)=\wurzel{\bruch{2}{a}}sin(k_{n}x)
[/mm]
mit [mm] k_{n}=\bruch{n\pi}{a} [/mm] und n=1,2,3,...
Zeigen Sie: [mm] \integral_{0}^{a}{\varphi^\*_n(x) \varphi_m(x) dx}=\delta_{nm} [/mm] |
Hallo liebe Helfer
Da [mm] \varphi_{n}(x)=\wurzel{\bruch{2}{a}}sin(k_{n}x) [/mm] eine reelle Funktion ist, ist dann [mm] \varphi^\*_{n}(x)=-\wurzel{\bruch{2}{a}}sin(k_{n}x)?
[/mm]
Mit [mm] sin(\alpha)*sin(\beta)=\bruch{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)] [/mm] kommt man auf
[mm] -\bruch{1}{a}(\integral_{0}^{a}{cos[(k_n-k_m)x dx}-\integral_{0}^{a}{cos[(k_n+k_m)x dx})
[/mm]
Ist da ein Denkfehler drin? Ich sehe noch nicht, wie ich auf [mm] \delta_{nm} [/mm] komme
Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar!
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Di 20.10.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Eigenfunktionen für ein Potentialkasten [mm](\infty[/mm] -hohe
> Wände) der Breite a lauten:
>
> [mm]\varphi_{n}(x)=\wurzel{\bruch{2}{a}}sin(k_{n}x)[/mm]
>
> mit [mm]k_{n}=\bruch{n\pi}{a}[/mm] und n=1,2,3,...
>
> Zeigen Sie: [mm]\integral_{0}^{a}{\varphi^\*_n(x) \varphi_m(x) dx}=\delta_{nm}[/mm]
>
> Hallo liebe Helfer
>
> Da [mm]\varphi_{n}(x)=\wurzel{\bruch{2}{a}}sin(k_{n}x)[/mm] eine
> reelle Funktion ist, ist dann
> [mm]\varphi^\*_{n}(x)=-\wurzel{\bruch{2}{a}}sin(k_{n}x)?[/mm]
Nein. Wenn [mm] $z\in \mathbb{R}$, [/mm] dann gilt: [mm] $z^\*=z$
[/mm]
>
> Mit
> [mm]sin(\alpha)*sin(\beta)=\bruch{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)][/mm]
> kommt man auf
>
> [mm]-\bruch{1}{a}(\integral_{0}^{a}{cos[(k_n-k_m)x dx}-\integral_{0}^{a}{cos[(k_n+k_m)x dx})[/mm]
>
> Ist da ein Denkfehler drin? Ich sehe noch nicht, wie ich
Bisher noch nicht, vom dem Vorzeichenfehler abgesehen.
> auf [mm]\delta_{nm}[/mm] komme
Rechne das Integral doch mal aus. Einmal für $m=n$ und einmal für [mm] $m\neq [/mm] n$.
>
> Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar!
> Viele Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 20.10.2015 | | Autor: | Boson |
Wenn ich das integriere komme ich auf
[mm] \bruch{1}{a}(-sin[(k_n-k_m)a](k_n-k_m)+sin[(k_n+k_m)a](k_n+k_m))=\bruch{1}{a^2}(-sin[(n-m)\pi]*[(n-m)\pi]+sin[(n+m)\pi]*[(n+m)\pi]
[/mm]
für n=m hätte ich nur [mm] \bruch{1}{a}sin(2k_na)(2k_n)=\bruch{1}{a^2}sin(n\pi)(n\pi)
[/mm]
der [mm] sin(n\pi) [/mm] ist aber 0
Aber hier komme ich jetzt nicht weiter. Muss ich Reihenentwicklung machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 20.10.2015 | | Autor: | notinX |
> Wenn ich das integriere komme ich auf
>
> [mm]\bruch{1}{a}(-sin[(k_n-k_m)a](k_n-k_m)+sin[(k_n+k_m)a](k_n+k_m))=\bruch{1}{a^2}(-sin[(n-m)\pi]*[(n-m)\pi]+sin[(n+m)\pi]*[(n+m)\pi][/mm]
Das ist falsch, siehst Du direkt wenn Du davon die Ableitung bildest. Dann kommt nicht der vorherige Integrand raus.
Probiers nochmal.
>
> für n=m hätte ich nur
> [mm]\bruch{1}{a}sin(2k_na)(2k_n)=\bruch{1}{a^2}sin(n\pi)(n\pi)[/mm]
>
> der [mm]sin(n\pi)[/mm] ist aber 0
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Di 20.10.2015 | | Autor: | Boson |
Ja das stimmt. nochmal:
[mm] \bruch{1}{a}\left(\integral_{0}^{a}{cos[(k_n-k_m)x] dx}-\integral_{0}^{a}{cos[(k_n+k_m)x] dx}\right)=\bruch{1}{a}\left(sin[k_n-k_m)a]*\bruch{1}{k_n-k_m}-sin[k_n+k_m)a]*\bruch{1}{k_n+k_m}\right)=sin[(n-m)\pi]*\bruch{1}{(n-m)\pi}-sin[(n+m)\pi]*\bruch{1}{(n+m)\pi}
[/mm]
Das Argument des Sinus ist immer ein ganzes vielfaches von [mm] \pi [/mm] oder 0 und das ergibt immer 0
für n=m geht der Term [mm] \bruch{1}{(n-m)\pi} [/mm] gegen unendlich. wie kann ich jetzt zeigen dass [mm] sin[(n-m)\pi]*\bruch{1}{(n-m)\pi}\not=0 [/mm] für n=m ist?
edit: reicht es schon zu sagen, dass sin(x)=x für kleine x gilt, also sin(x)*1/x = x/x = 1 [mm] \not=0 [/mm] für kleine x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Di 20.10.2015 | | Autor: | notinX |
> Ja das stimmt. nochmal:
>
> [mm]\bruch{1}{a}\left(\integral_{0}^{a}{cos[(k_n-k_m)x] dx}-\integral_{0}^{a}{cos[(k_n+k_m)x] dx}\right)=\bruch{1}{a}\left(sin[k_n-k_m)a]*\bruch{1}{k_n-k_m}-sin[k_n+k_m)a]*\bruch{1}{k_n+k_m}\right)=sin[(n-m)\pi]*\bruch{1}{(n-m)\pi}-sin[(n+m)\pi]*\bruch{1}{(n+m)\pi}[/mm]
>
> Das Argument des Sinus ist immer ein ganzes vielfaches von
> [mm]\pi[/mm] oder 0 und das ergibt immer 0
>
> für n=m geht der Term [mm]\bruch{1}{(n-m)\pi}[/mm] gegen unendlich.
für $n=m$ steht doch in Deinem ersten Integral als Integrand: [mm] $\cos(0)=1$
[/mm]
Das zu integrieren sollte keine Problem sein 
> wie kann ich jetzt zeigen dass
> [mm]sin[(n-m)\pi]*\bruch{1}{(n-m)\pi}\not=0[/mm] für n=m ist?
>
> edit: reicht es schon zu sagen, dass sin(x)=x für kleine x
> gilt, also sin(x)*1/x = x/x = 1 [mm]\not=0[/mm] für kleine x
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:55 Mi 21.10.2015 | | Autor: | Boson |
Das wäre zu einfach gewesen ;)
Vielen Dank für deine Hilfe!
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