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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:44 Do 09.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrix [mm] A\in \IR^{5\times 5}, [/mm] von der die QR-Zerlegung bekannt ist. Wird die Matrix A um die Zeile [mm] a^{T}, a\in \IR^5 [/mm] erweitert, so kann die QR-Zerlegung A'=Q'R' dieser erweiterten Matrix [mm] A'=\pmat{A \\ a^{T}} [/mm] leicht berechnet werden: Die Kenntnis der Matrix Q und der Matrix Q' ist nicht notwendig.
Berechnen Sie die Matrix R' für die gegebene Matrix R und den Vektor a.
[mm] R=\pmat{\wurzel{2} & 4 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 2\wurzel{2}-1 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}, a^{T}=\pmat{\wurzel{2} & 2 & 3\wurzel{2} & \bruch{25}{2} & 1}.
[/mm]
Geben Sie alle während der Elimination auftretenden Matrizen [mm] G_{i,6},i=1,...,5 [/mm] an. |
Meine Idee ist folgende:
[mm] \pmat{A \\ a^{T}}=\pmat{Q\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}}=\pmat{Q & 0 \\ 0 & 1}\pmat{\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}}
[/mm]
Und damit dann:
[mm] \pmat{Q & 0 \\ 0 & 1}^{T}\pmat{A \\ a^{T}}=\pmat{\pmat{R \\ 0} \\ a^{T}}
[/mm]
Jetzt erhalte ich also:
[mm] \pmat{Q & 0 \\ 0 & 1}^{T}\pmat{A \\ a^{T}}=\pmat{\wurzel{2} & 4 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 2\wurzel{2}-1 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \wurzel{2} & 2 & 3\wurzel{2} & \bruch{25}{2} & 1}.
[/mm]
Und hier würde ich nun die Givensrotationsmatrizen [mm] G_{i,6},i=1,...,5 [/mm] berechnen, damit diese Matrix obere Dreiecksmatrix wird.
Hätte man dann nicht die neue QR-Zerlegung berechnet bzw. das R', das gesucht ist?
Wer kann mir hier behilflich sein und mir sagen, ob dies korrekt ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Do 09.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Z.B. wäre die erste Givensrotationsmatrix m.E.
[mm] G=\pmat{\bruch{\wurzel{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2}}, [/mm] denn hiermit eliminiert man den Eintrag [mm] r_{61}=\wurzel{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Do 09.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Kann mir wirklich niemand weiter helfen? |
...
Vielleicht irritiert das [mm] \pmat{R \\ 0}?
[/mm]
Das soll einfach nur bedeuten, dass R obere Dreiecksmatrix ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Do 09.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Wieso reagiert niemand? |
...ist es so falsch?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:00 Do 09.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hat jemand noch ein Endergebnis ermittelt, das er mit meinem abgleichen würde?
Meins lautet: |
[mm] R'=\pmat{2 & 4,24264 & 5,825 & 12,3744 & 4,949 \\ 0 & 4,24264 & 4,65685 & 4,52471 & 7,7781 \\ 0 & 0 & 2,58579 & 8,62826 & 4,949 \\ 0 & 0 & 0 & 8,100 & 9,88721 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4,12311 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Das ist eine obere Dreiecksmatrix und insgesamt habe ich 6 Givensrotationsmatrizen benötigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 11.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 11.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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