Q nicht endlich erzeugt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] \IQ [/mm] nicht endlich erzeugt ist, d.h. für jede endliche Teilmenge M [mm] \subset \IQ [/mm] gilt <M> nicht [mm] \subseteq \IQ. [/mm] |
Hallo
Ich will die Aussage per Widerspruchbeweis zeigen:
Angenommen Q ist endlich erzeugt, d.h es existieren [mm] q_{1},...,q_{s}\in [/mm] Q, so dass für alle [mm] q\in [/mm] Q gilt [mm] q=n_{1}*q_{1}+...+n_{s}*q_{s} [/mm] mit [mm] n_{1},...,n_{s} \in [/mm] N.
[mm] q_{s}=t_{s}/f_{s} [/mm] mit [mm] t_{s},f_{s} \in [/mm] Z und [mm] t_{s},f_{s} [/mm] teilerfremd.
Jetzt muss ich mir ein Element q nehmen und zeigen dass es nicht in der linearen Hülle liegt und damit ist es ein Widerspruch. Und genau hier komme ich nicht weiter.
mit freundlichen Grüßen zahlenfreund
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Hi zahlenfreund,
zuerst eine kleine Anmerkung: Die [mm] $n_i$ [/mm] dürfen aus ganz [mm] $\IZ$ [/mm] kommen, also es sind auch negative Vorfaktoren erlaubt.
Dann zu deinem Problem erstmal nur ein einziges Wort, dass dich hoffentlich ein gutes Stück weiter bringt: Hauptnenner.
lg
Schadow
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Danke für den Hinweis der hat mir sehr weiter geholfen.
Gruß zahlenfreund
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