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Quadr. Gleichung mit Wurzel: Lösungsweg zum Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Sa 11.04.2015
Autor: IainMBC

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

[mm] x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0 [/mm]

Ich habe die oben genannte Aufgabe versucht wie folgt zu lösen:

[mm] x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0 |-x^2 - 2[/mm]
[mm]\wurzel{8x} = -x^2 - 2 |(..)^2[/mm]
[mm](\wurzel{8x})^2 = (-x^2 - 2) [/mm]
[mm]8x = x^4 + 4x^2 + 4 |-8x [/mm]
[mm]0 = x^4 + 4x^2 - 8x + 4 [/mm]

Und ab hier komme ich nicht mehr weiter. Leider ist mein Abitur nun 20 Jahre her und ich kann mich beim besten Willen nicht mehr daran erinnern wie es weitergeht. Ich habe schon versucht Lösungen im Netz zu finden. Ich hatte bisher keinen Erfolg beim Finden des passenden Rechenwegs.

Laut Lösungsbuch, soll die Lösung [mm] -\wurzel{2} [/mm] sein.

____________________________________________
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Quadr. Gleichung mit Wurzel: -sqrt(2) ist falsch...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen
> Gleichung:
>
> [mm]x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0[/mm]

daraus folgt (für reelle [mm] $x\,$) [/mm] schon $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Ist Dir klar, warum?

>  Ich habe die oben genannte
> Aufgabe versucht wie folgt zu lösen:

Solltest Du Mathematik/Informatik studieren, würde ich Dir ans Herz legen,
immer Folgerungs- und ggf., wenn angebracht, sogar Äquivalenzpfeile zu
verwenden.
Aber bleiben wir ruhig mal bei "schulnotationsmäßiger Rechnung".

> [mm]x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0 |-x^2 - 2[/mm]
>  [mm]\wurzel{8x} = -x^2 - 2 |(..)^2[/mm]

Die linke Seite ist [mm] $\ge [/mm] 0$, die rechte [mm] $\le [/mm] -2$. Hier sieht man schon, dass diese
Gleichung KEINE Lösung hat.

> [mm](\wurzel{8x})^2 = (-x^2 - 2) [/mm]

Diese Gleichung folgt zwar aus der letzten, aber sie impliziert nicht die
letzte!

LEIDER gibt es Autoren, die selbst keine Ahnung haben, wie die Wurzel
einer positiven reellen Zahl gehandhabt wird; und die schreiben dann
solch' einen Unfug wie [mm] $\sqrt{4}=\pm 2\,.$ [/mm]
Per (üblicher!) Definition(em) ist [mm] $\sqrt{4}=+2\,.$ [/mm]

Würde oben übrigens (überall) vor dem Term [mm] $\sqrt{8x}$ [/mm] ein Minus stehe, so würden
wir die Gleichung

    [mm] $-\sqrt{8x}=-x^2-2$ [/mm]

sehen - da ist jedenfalls nicht sofort ersichtlich, dass sie nicht lösbar ist.
[Wir werden das nachher auch algebraisch sehen, aber für Dich: Plotte
Dir doch einfach mal

    $g [mm] \colon [/mm] x [mm] \mapsto x^2-\sqrt{8*x}+2$. [/mm]

Man sieht, dass sogar diese Funktion keine Nullstellen hat:

    [mm] [nomm]$x^2-sqrt(8*x)+2$[/nomm] [/mm] (ohne mm's)

etwa unter []http://www.mathe-fa.de/de eingeben!]

Wenn Du sie quadrierst, stünde dann das da, was Du in der nächsten
Zeile schreibst (aus [mm] $-\sqrt{8x}=-x^2-2$ [/mm] folgt [mm] $(-\sqrt{8x})^2=(-x^2-2)^2$ [/mm] und damit: ...)
  

>  [mm]8x = x^4 + 4x^2 + 4 |-8x [/mm]
>  
> [mm]0 = x^4 + 4x^2 - 8x + 4[/mm]
>  
> Und ab hier komme ich nicht mehr weiter. Leider ist mein
> Abitur nun 20 Jahre her und ich kann mich beim besten
> Willen nicht mehr daran erinnern wie es weitergeht.

Man könnte zwar versuchen, diese Gleichung zu lösen, aber die
Ausgangsgleichung wird dann dennoch weiterhin keine Lösung
haben.

> Ich habe schon versucht Lösungen im Netz zu finden. Ich hatte
> bisher keinen Erfolg beim Finden des passenden Rechenwegs.
>  
> Laut Lösungsbuch, soll die Lösung [mm]-\wurzel{2}[/mm] sein.

Das ist Unsinn. Was man machen könnte, wäre eine Lösung zu *raten*,
und dann geht es weiter mit Polynomdivision.

Im heutigen Zeitalter würde ich das *raten* aber anders machen (wobei
es auch da *geschickte Strategien* gibt; die dürfen Dir meinetwegen auch
andere noch verraten):
Man nehme einen Funktionsplotter und lasse sich

    $f [mm] \colon [/mm] x [mm] \mapsto x^4+4*x^2-8*x+4$ [/mm]

plotten. Da sieht man eigentlich schon, dass diese Funktion vermutlich keine
Nullstelle haben wird.

Wenn man sich das formal mal anguckt: Wenn ich mir die Ableitung

    [mm] $f\,' \colon [/mm] x [mm] \mapsto 4*x^3+8*x-8$ [/mm]
    
angucke, hege ich die Vermutung, dass diese eine einzige Nullstelle hat,
links ihrer Nullstelle streng wächst und rechts davon steigt.

Weil dann [mm] $f\,'$ [/mm] links von ihrer Nullstelle negativ ist, ist [mm] $f\,$ [/mm] links davon streng
fallend. Analog begründet man mit [mm] $f\,'$, [/mm] dass [mm] $f\,$ [/mm] rechts der Nullstelle von
[mm] $f\,'$ [/mm] steigt (insbesondere ist die Nullstelle von [mm] $f\,'$ [/mm] lokale Minimalstelle
von [mm] $f\,$). [/mm]

Die Vermutung für das, was ich über [mm] $f\,'$ [/mm] gesagt habe, kann man wiederum
mit

    [mm] $f\,'' \colon [/mm] x [mm] \mapsto 12x^2+8$ [/mm]

einsehen. Genauer: Weil [mm] $f\,''$ [/mm] stets positiv ist, ist [mm] $f\,'$ [/mm] streng wachsend.

Und auch noch zum Schluss: Wenn man sich nicht sicher ist, ob man bei
allen seinen Umformungen, wo man [mm] $\Rightarrow$ [/mm] benutzt hat, auch überall [mm] $\Leftarrow$ [/mm]
benutzen darf (also direkt [mm] $\gdw$ [/mm] schreiben dürfte), dann sollte man die Probe
machen (das macht im Endeffekt nichts anderes). Und demjenigen, der diese
Lösung von [mm] $-\sqrt{2}$ [/mm] dahingeschrieben hat, sollte man den gleichen Hinweis geben.

Rechne mal nach: Ist bei Dir

    [mm] $(-\sqrt{2})^2+\sqrt{8*(-\sqrt{2})}+2=0$ [/mm] ?

Ich habe da schon Probleme bei dem Term [mm] $\sqrt{8*(-\sqrt{2})}$, [/mm] den man *im
besten Fall* noch als komplexe Zahl deuten könnte...

P.S. Die Nullstelle von [mm] $f\,'$ [/mm] würde ich auch nicht ausrechnen wollen (wenngleich
das geht: Cardanische Formel).
Ich würde kurz die Existenz einer Nullstelle begründen (dass es höchstens
eine gibt, folgt eigentlich aus dem oben gesagten) und dann vielleicht noch
versuchen, ungefähr einzugrenzen, wo sie liegt...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Quadr. Gleichung mit Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 So 12.04.2015
Autor: IainMBC

Guten Abend Marcel,

> >
> > [mm]x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0[/mm]
>  
> daraus folgt (für reelle [mm]x\,[/mm]) schon [mm]x \ge 0\,.[/mm] Ist Dir
> klar, warum?

Ja, da der Radikand nicht negativ sein darf.

>
> Solltest Du Mathematik/Informatik studieren, würde ich Dir
> ans Herz legen,
>  immer Folgerungs- und ggf., wenn angebracht, sogar
> Äquivalenzpfeile zu
>  verwenden.

Danke für den Hinweis. Ich werde meine Notation ändern.

Ich habe mir deine weiteren Ausführungen angesehen und ich werde sie morgen noch genauer betrachten und versuchen anhand meiner "falsche notierten" Gleichung nachzuvollziehen.

Derweilen hat Abakus mir einen Hinweis gegeben, wie das Ergebnis doch richtig ist. Ich habe die Wurzel missgedeutet und bin davon ausgegangen, dass die komplette 8x unter dem Wurzelstrich steht. Aber bei genauen hinsehen ist nur die 8 davon betroffen. Der Wurzelstrich endet knapp vor dem x.

D.h. die korrekte Gleichung lautet:

[mm]x^2 + \wurzel{8}x + 2 = 0 [/mm]

Ich bedanke mich vielmals für die Hinweise und Tips.

Viele Grüße
Iain



Bezug
        
Bezug
Quadr. Gleichung mit Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 So 12.04.2015
Autor: abakus


> Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen
> Gleichung:

>

> [mm]x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0[/mm]
> Ich habe die oben genannte
> Aufgabe versucht wie folgt zu lösen:

>

> [mm]x^2 + \wurzel{8x} + 2 = 0 |-x^2 - 2[/mm]
> [mm]\wurzel{8x} = -x^2 - 2 |(..)^2[/mm]

>

> [mm](\wurzel{8x})^2 = (-x^2 - 2) [/mm]
> [mm]8x = x^4 + 4x^2 + 4 |-8x [/mm]

>

> [mm]0 = x^4 + 4x^2 - 8x + 4[/mm]

>

> Und ab hier komme ich nicht mehr weiter. Leider ist mein
> Abitur nun 20 Jahre her und ich kann mich beim besten
> Willen nicht mehr daran erinnern wie es weitergeht. Ich
> habe schon versucht Lösungen im Netz zu finden. Ich hatte
> bisher keinen Erfolg beim Finden des passenden Rechenwegs.

>

> Laut Lösungsbuch, soll die Lösung [mm]-\wurzel{2}[/mm] sein.

Hallo,
die Lösung passt nicht zur Aufgabe. Sie würde passen, wenn in der Aufgabe eine kleine Korrektur vorgenommen wird. Falls das Wurzelzeichen nicht über die gesamten 8x geht, sondern nur über der 8 stehen würde, wäre tatsächlich [mm]-\wurzel{2}[/mm] die Lösung.
Es gilt [mm]x^2 + \wurzel{8}\cdot x+ 2 =(x+\sqrt2)^2[/mm], und letzteres ist in genau dem angegebenen Fall 0.
Du kannst die Gleichung [mm]x^2 + \wurzel{8}\cdot x+ 2 =0[/mm] auch mit der p-q-Formel lösen und kommst zum selben Ergebnis.
Gruß Abakus
>

> ____________________________________________
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Quadr. Gleichung mit Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:29 So 12.04.2015
Autor: IainMBC


>  die Lösung passt nicht zur Aufgabe. Sie würde passen,
> wenn in der Aufgabe eine kleine Korrektur vorgenommen wird.
> Falls das Wurzelzeichen nicht über die gesamten 8x geht,
> sondern nur über der 8 stehen würde, ....

Guten Abend Abakus,

du hast recht. Etwas was ich vollkommen übersehen habe. Der Strich der Wurzel hört kurz vor dem x auf.

Ich habe es für selbstverständlich angesehen, dass der Strich über 8x liegt und hätte geschworen, dass es so ist. Erst nach deinem Hinweis habe ich es mir genauer angeschaut.

Danke.

Viele Grüße
Iain



Bezug
                        
Bezug
Quadr. Gleichung mit Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:43 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> >  die Lösung passt nicht zur Aufgabe. Sie würde passen,

> > wenn in der Aufgabe eine kleine Korrektur vorgenommen wird.
> > Falls das Wurzelzeichen nicht über die gesamten 8x geht,
> > sondern nur über der 8 stehen würde, ....
>
> Guten Abend Abakus,
>
> du hast recht. Etwas was ich vollkommen übersehen habe.
> Der Strich der Wurzel hört kurz vor dem x auf.
>
> Ich habe es für selbstverständlich angesehen, dass der
> Strich über 8x liegt und hätte geschworen, dass es so
> ist. Erst nach deinem Hinweis habe ich es mir genauer
> angeschaut.

na, ich hoffe mal, Du kannst aus meiner Antwort dennoch Informationen
rausziehen, die für Dich interessant sind. Wenngleich auch vieles dann
im Sinne der eigentlichen Aufgabe zweitrangig ist, hier mal wenigstens
das, was mir am Wichtigsten erscheint:

    [mm] $\sqrt{8x}$ [/mm]

wird (sofern man nicht ins Komplexe springen will) nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ geschrieben. Die Gleichung

    [mm] $\sqrt{8x}=-x^2-2$ [/mm]

hat dann keine Lösung: Die linke Seite wäre [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] die rechte [mm] $\le [/mm] -2$, insbesondere
also $< [mm] 0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Quadr. Gleichung mit Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:47 So 12.04.2015
Autor: IainMBC

Hallo Marcel,

>>ich hoffe mal, Du kannst aus meiner Antwort dennoch Informationen
rausziehen, die für Dich interessant sind

Auf jeden Fall.

Viele Grüße
Iain

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