Quadrat mit 4 Radien berechnen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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[Dateianhang nicht öffentlich]
<br>Hallo,gegeben sind die 4 Radien. Wie lässt sich daraus die Größe des Quadrates berechnen.Ich komme damit leider nicht zurecht.
Mit freundlichen Grüßen
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Moin,
du solltest deinen Beitrag nochmal überarbeiten.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Do 29.12.2022 | | Autor: | andreas.p |
Oh je, das sollte ein Bild sein.
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(1.) DRINGENDE Bitte :
Wäre es möglich, die Frage-Seite vernünftig zu formatieren ?
(2.) Natürlich ist es nicht schwer, ein Gleichungssystem aufzustellen:
Nennen wir die Winkel beim Zentralpunkt alfa, beta, gamma, delta.
Dann haben wir mit der Quadratseitenlänge a zusammen 5 Unbekannte.
Die dafür nötigen 5 Gleichungen erhält man aus:
Winkelsumme: alfa + beta + gamma + delta = 360°
Viermal Cosinussatz, etwa im ersten Dreieck:
[mm] a^2 [/mm] = [mm] r1^2 [/mm] + [mm] r2^2 [/mm] - 2 * r1 * r2 * cos (alfa)
etc.
Das entstehende Gleichungssystem möchte ich allerdings lieber nicht
auflösen mussen ...
LG , Al-Chw.
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Dass ich nicht gemerkt habe, dass eigentlich schon drei (anstatt vier) Speichenlängen
genügen, ärgert mich natürlich nachträglich recht gehörig.
Jetzt kann ich nur hoffen, dass mir und euch allen in diesem neuen Jahr kein größerer
Ärger als dieser blühen wird !
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Fr 30.12.2022 | | Autor: | chrisno |
Ich habe mal den Verweis auf das Bild repariert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 01.01.2023 | | Autor: | weduwe |
mit [mm] r_1= [/mm] r, [mm] r_2 [/mm] = s und [mm] r_3 [/mm] = t löse die (bi)quadratische Gleichung:
[mm] a^4-a^2*(r^2+t^2)+1/2*(r^4-2*r^2*s^2+2*s^4-2*s^2*t^2+t^4)=0
[/mm]
[mm] (r_4 [/mm] ist meiner Meinung nach redundant, überflüssig....)
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Hallo weduwe,
habe deine Lösung aufgegriffen und eine Herleitung verfasst. Falls du eine kürzere hast, wäre es nett, diese mitzuteilen. Manchmal trifft man ja nur mitten durch die Brust ins Auge...
Gruß
Kw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mo 02.01.2023 | | Autor: | weduwe |
ich hab´s mit 3maliger Anwendung des Cosinussatzes gemacht,
ob das kürzer ist, weiß ich nicht.
Da müßte ich meine Schmierzettel aus dem vorigen Jahr suchen!
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Danke für den Hinweis. Hat mir geholfen (s.u.)
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> <br>Hallo,gegeben sind die 4 Radien. Wie lässt sich daraus
> die Größe des Quadrates berechnen.Ich komme damit leider
> nicht zurecht.
Hallo Andreas,
ich habe auch lange daran herumgeknackt, erst die Lösungsgleichung von weduwe hat mich auf die richtige Spur gebracht. Ich benutze seine Bezeichnungen. Gegeben sind drei der 4 "Speichen" r, s und t, die 4. ist überflüssig, weil sie sich von selbst ergibt, da man die grauen Linien im Quadrat ergänzen kann, wenn man die schwarzen kennt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Versuche über trigon. Formeln sind alle gescheitert. Pythagoras hilft weiter.
a = b + c sowie (#1)
a = d + e (#2)
[mm] \Rightarrow a^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + 2bc + [mm] c^2 \Rightarrow [/mm] -2bc = [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] (#3)
[mm] a^2 [/mm] = [mm] d^2 [/mm] + 2de + [mm] e^2 \Rightarrow [/mm] -2de = [mm] d^2 [/mm] + [mm] e^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] (#4)
Pythagoras:
[mm] r^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] d^2
[/mm]
[mm] s^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 \Rightarrow
[/mm]
[mm] t^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] + [mm] e^2
[/mm]
[mm] r^2 [/mm] - [mm] s^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] - [mm] c^2 [/mm] = (b + c)(b - c) = (#1) a(b - c) [mm] \Rightarrow (r^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] = [mm] a^2(b [/mm] - [mm] c)^2 [/mm] = [mm] a^2(b^2 [/mm] - 2bc + [mm] c^2) [/mm] = (#3) [mm] a^2(2b^2 [/mm] + [mm] 2c^2 [/mm] - [mm] a^2) [/mm] (#5)
[mm] t^2 [/mm] - [mm] s^2 [/mm] = [mm] e^2 [/mm] - [mm] d^2 [/mm] = (e + d)(e - d) = (#2) a(e - d) [mm] \Rightarrow (t^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] = [mm] a^2(e [/mm] - [mm] d)^2 [/mm] = [mm] a^2(e^2 [/mm] - 2ed + [mm] d^2)= [/mm] (#4) [mm] a^2(2e^2 [/mm] + [mm] 2d^2 [/mm] - [mm] a^2) [/mm] (#6)
[mm] r^2 [/mm] + [mm] t^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] + [mm] e^2 [/mm] (#7)
(#5)+(#6): [mm] (r^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] + [mm] (t^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] = [mm] a^2(2b^2 [/mm] + [mm] 2c^2 [/mm] + [mm] 2d^2 [/mm] + [mm] 2e^2 [/mm] - [mm] 2a^2) [/mm] = (#7) [mm] a^2(2r^2 [/mm] + [mm] 2t^2 [/mm] - [mm] 2a^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2a^4 [/mm] - [mm] 2a^2(r^2 [/mm] + [mm] t^2) [/mm] + [mm] (r^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] + [mm] (t^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] = 0 (Gleichung von weduwe)*2
Diese Gleichung hat 4 Lösungen, von denen 3 bedeutungslos für das Problem sind. Die brauchbare Lösung lautet
a = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} \wurzel{r^2 + t^2 +\wurzel{4r^2s^2 + 4s^2t^2 + 2r^2t^2 - 4s^2 - r^4 - t^4}}
[/mm]
Dabei ist zu beachten, dass s immer die Länge der MITTLEREN Speiche ist.
Vielleicht findet jemand noch einen kürzeren Weg für die Herleitung.
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 03.01.2023 | | Autor: | andreas.p |
Vielen Dank!
das funktioniert super.
In der Formel ist noch ein kleiner
Fehler.
Das letzte [mm] 4S^2-4r^4-4t^4 [/mm] habe ich geändert. [mm] 4S^4-4r^4-4t^4
[/mm]
LG Andreas
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Nach dem o.a. Hinweis von weduwe habe ich mich noch mal hingesetzt und einen Weg mit dem Kosinussatz gefunden, auf den ich vorher gar nicht gekommen bin - vermutlich, weil ich das zu kompliziert angefangen habe. Man kommt mit einem Winkel und zweimal Kosinussatz aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] s^2 [/mm] = [mm] t^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] - [mm] 2atcos(\alpha) \Rightarrow [/mm] - [mm] 2atcos(\alpha) [/mm] = [mm] s^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] (#1)
[mm] r^2 [/mm] = [mm] t^2 [/mm] + [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] 2at\wurzel{2}cos(45° [/mm] - [mm] \alpha)
[/mm]
= [mm] t^2 [/mm] + [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] 2at\wurzel{2}(cos(45°)cos(\alpha) [/mm] + [mm] sin(45°)sin(\alpha))
[/mm]
= [mm] t^2 [/mm] + [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] 2at\wurzel{2}((\wurzel{2}/2) cos(\alpha) [/mm] + [mm] (\wurzel{2}/2) sin(\alpha))
[/mm]
= [mm] t^2 [/mm] + [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] 2at(cos(\alpha) [/mm] + [mm] sin(\alpha))
[/mm]
= [mm] t^2 [/mm] + [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] 2atcos(\alpha) [/mm] - [mm] 2atsin(\alpha))
[/mm]
[mm] r^2 [/mm] = (#1) [mm] t^2 [/mm] + [mm] 2a^2 [/mm] + [mm] s^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] - [mm] 2atsin(\alpha)) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] s^2 [/mm] - [mm] 2atsin(\alpha)) \Rightarrow [/mm]
[mm] 2atsin(\alpha) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] s^2 [/mm] - [mm] r^2 [/mm] (#2)
[mm] (#1)^2: 4a^2t^2cos^2(\alpha) [/mm] = [mm] (s^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] - [mm] a^2)^2
[/mm]
[mm] (#2)^2: 4a^2t^2sin^2(\alpha) [/mm] = [mm] (a^2 [/mm] + [mm] s^2 [/mm] - [mm] r^2)^2
[/mm]
Beide addiert (mit [mm] sin^2(\alpha) [/mm] + [mm] sin^2(\alpha) [/mm] = 1):
[mm] 4a^2t^2= (s^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] - [mm] a^2)^2 [/mm] + [mm] (a^2 [/mm] + [mm] s^2 [/mm] - [mm] r^2)^2
[/mm]
= [mm] s^4 [/mm] + [mm] t^4 [/mm] + [mm] a^4 [/mm] + [mm] a^4 [/mm] + [mm] s^4 [/mm] + [mm] r^4 -2s^2t^2 -2s^2a^2 [/mm] + [mm] 2t^2a^2 [/mm] + 2 [mm] a^2s^2 [/mm] - [mm] 2a^2r^2 [/mm] - [mm] 2s^2r^2
[/mm]
0 = [mm] s^4 [/mm] + [mm] t^4 [/mm] + [mm] 2a^4 [/mm] + [mm] s^4 [/mm] + [mm] r^4 -2s^2t^2 [/mm] - [mm] 2t^2a^2 [/mm] - [mm] 2a^2r^2 [/mm] - [mm] 2s^2r^2
[/mm]
0 = [mm] 2a^4 [/mm] - [mm] 2a^2(t^2 [/mm] + [mm] r^2) [/mm] + [mm] t^4 -2s^2t^2 [/mm] + [mm] s^4 [/mm] + [mm] s^4 [/mm] - [mm] 2s^2r^2 [/mm] + [mm] r^4
[/mm]
0 = [mm] 2a^4 [/mm] - [mm] 2a^2(t^2 [/mm] + [mm] r^2) [/mm] + [mm] (t^2 [/mm] - [mm] s^2)^2 [/mm] + [mm] (s^2 [/mm] - [mm] r^2)^2 [/mm] (Formel von weduwe)
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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