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Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 So 17.12.2006
Autor: drPC

Aufgabe
Wir zerlegen Quadrate aus n x n Kästchen in kleinere Teilquadrate(mit ganzzahliger Seitenlänge). Eine solche Aufteilung eines Quasrates nennen wir gültig.

Für n> = 2 bezeichnen wir mit Q(n) die kleinstmögliche Anzahl von Quadraten in einer gültigen Aufteilung des n x n Quadrates. Zum Beispiel ist Q(2) = 4 und Q(3) = 6 .

1. Wie groß ist Q(2k) für k element der N - Beweis??
2. Bestimme Q(7) und beweise deine Angabe.

Hinweis: es ist zu einer angegeben ösung natürlich zu zeigen, dass es keine gültige Zerlegung mit weniger Quadraten geben kann!


Ich muss diese Fragestellung lösen können!!! nur komme ich leider auf keinen richtigen ansatz! ich bin auf eure hilfe angewiesen! BITTE helft mir!! jeder ansatz bringt mich weiter!

Ich hab zwar einen Ansatz gehabt: möglichweise jedes n mit 2 zu multiplizieren aber auf die begründung - komme ich nicht!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Quadrate - Zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 So 17.12.2006
Autor: leduart

Hallo
1. ist doch ganz leicht!
[mm] (2k)^2=4*k^2 [/mm] also 4 der Seitenlänge k, nimmt man andere gibt es immer mehr.
[mm] 2.7^2=49=6^2+13*1 [/mm] n=14
[mm] 7^2=4^2+3*3^2+6*1^2 [/mm] n=10 in allen anderen Fällen bleiben mehr einer über.
Natürlich geht in den Beweis auch die Seitenläange 7=3+4 ein!
Gruss leduart


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Bezug
Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 So 17.12.2006
Autor: drPC

Aufgabe
  also 4 der Seitenlänge k, nimmt man andere gibt es immer mehr.
   n=14
   n=10 in allen anderen Fällen bleiben mehr einer über.

ok so bizzl hab ich was verstanden aber ich bin nicht der beste in mathematik - siehe Grundkurs einschätzung - ich weis z.t. nicht was du genau meinst?? ich wäre dir sehrrrrr^unendlich dankbar, wenn du mir das etwas mehr deutschisch als mathematisch erklären könntest ?? :-)

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Bezug
Quadrate - Zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 So 17.12.2006
Autor: leduart

Hallo
mal das doch einfach auf.
Gerade Seitenlänge kann man beide Seiten halbieren und hat 4 Quadrate.
bei 7 mal dir das einfach mal auf! dann erklärst dus deutsch und ich korrigier!
Was für ein Wettbewerb ist das?
Gruss leduart

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Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Mo 18.12.2006
Autor: drPC

HI,

Ok danke für den ansatz – vllt ists ja wirklich besser, wenn ich’s veruche zu erklären und du mir dabei behilflich bist!
Also wenn ich jetzt habe: Q(2k) – dann heißt dass ja ich muss das (2k)² machen da n x n !!! – also wenn ich des dann mache bekomm ich für Q(2k)= 4k² raus!!(Was ich aber hier nicht verstehe ist: was heißt 4 der seitenlänge k???) ich habs mir mal aufgezeichnet wie dus vorgeschlagen hast :




Aber mehr als das ist nicht bei rausbekommen!! – also wenn ich jetzt Q(2k) hab – hab ich dann also 4k² als Ergebnis!! – das hab ich auch verstanden! Aber wieso ist diese Zerlegung nicht mit weniger Quadraten möglich!!

Dann gibt’s ja noch die Aufgabe mir Q(7) = 49 – denn 7² = 49!! – aber das wichtige ist, dass es nicht von 7² herkommt sondern von 2*7 = 49 – also ist mein n = 14 – da 2*7= 14!!
Zudem wäre diese Aufgabe auch lösbar, indem ich das 6² + 13 nehme!! Aber wie du auf n =14 kommst versteh ich nicht wirklich oder warum 6 – geht’s nicht auch mit einer 5 oder so??

Dann haste ja noch bewiese, dass es auch mit n= 10 möglich wäre!! Indem du 7² = 49 = 3*3² gemacht hast!! (meine frage wäre wieder wieso 3 – nach was hab ich hier zu suchen???, also welche zahlen kommen überhaupt in frage??) dann hast du ja noch die sache mit dem 6*1²  n= 10 aufgezeigt hast! –

Meine konkreten fragen: wie kommst du auf n=10 und n=14 !! – und wäre damit also bewiesen, dass das Ergebnis, was wir mit n=7 erzielen auch mit n=10 und n=14 möglich wäre??

Und zweitens: was sollte mir auffallen, wenn ich mir das alles aufzeichen in form eines quadrates??

- ich bin dir unendlich dankbar!!!!! Und hoffe noch auf eine antwort!! Es ist ein klasseninternes quiz!! – ich werde auf deinen hilfsansatz aufbauen!!


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Quadrate - Zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 18.12.2006
Autor: leduart

Hallo
Sehr viel kannst du mit deiner Zeichnung nicht rumgespielt haben!


>  Also wenn ich jetzt habe: Q(2k) – dann heißt dass ja ich
> muss das (2k)² machen da n x n !!! – also wenn ich des dann
> mache bekomm ich für Q(2k)= 4k² raus!!(Was ich aber hier
> nicht verstehe ist: was heißt 4 der seitenlänge k???) ich
> habs mir mal aufgezeichnet wie dus vorgeschlagen hast :

Q(2k) ist die MINIMALEAnzahl von Quadraten, in die du ein Quadrat von 2k Seitenlänge teilen kannst. indem du die seitenlänge der Quadrate k lang machst sind sie 1. ganzzahlig, 2. 4 Stück.
Wenn du eine Seite länger machst,z.bsp k+1 bleiben dir nur
Stücke über, die (k-1)lang sind.und davon braucht man sicher mehr als 3 um den Rest auszufüllen,das reicht als Argument für nen Beweis, obwohl du den Rest nicht voll mit 1 kürzeren Quadraten ausfüllen kannst. Probiers einfach mal mit nem Quadrat mit 6 als seitenlänge aus!  

>
>
>
> Aber mehr als das ist nicht bei rausbekommen!! – also wenn
> ich jetzt Q(2k) hab – hab ich dann also 4k² als Ergebnis!!
> – das hab ich auch verstanden! Aber wieso ist diese
> Zerlegung nicht mit weniger Quadraten möglich!!

Nein, dein Ergebnis ist Q/2k)=4, lies nochmal die Def von Q nach!  

> Dann gibt’s ja noch die Aufgabe mir Q(7) = 49 – denn 7² =
> 49!! – aber das wichtige ist, dass es nicht von 7² herkommt
> sondern von 2*7 = 49

Was soll der Unsinn?
Wenn da 7 steht hat das nichts mit den 2k der vorigen aufgabe zu tun. Es ist einfach ein Quadrat mit der Seitenlänge 7 und jetzt geh hin, zeichne es auf (7Kästchen in deinem Rechenheft, und mal kleinere Quadrate rein.
1. Möglichkeit 49 Quadr. der Seitenlänge 1, dann nimm Seitenlänge2, dann 3, dann 4 und versuch immer möglichst wenige Q. unterzubringen!
Dann erst guck nochmal mein post an.
Gruss leduart

> – also ist mein n = 14 – da 2*7= 14!!
> Zudem wäre diese Aufgabe auch lösbar, indem ich das 6² + 13
> nehme!! Aber wie du auf n =14 kommst versteh ich nicht
> wirklich oder warum 6 – geht’s nicht auch mit einer 5 oder
> so??
>  
> Dann haste ja noch bewiese, dass es auch mit n= 10 möglich
> wäre!! Indem du 7² = 49 = 3*3²

Das hab ich sicher NICHT! lies genauer, 49=27 ist doch kompletter Unsinn!
Gruss leduart

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Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mo 18.12.2006
Autor: drPC

Hallo

erstmal ich bin dankbar – dass du mir hilfst!! Ich glaube so langsam dran, dass du mich vor dem jahr schützen kannst – und ich hoffentlich doch nicht die 13. wiederholen muss!!! Deshalb erst mal ein richtig großes dankeschön(größer als unendlich!!)!

– ok ich denk jetzt hab ich’s etwas besser verstanden. Also ich hab mir jetzt ein Quadrat der seitenlänge 2k gezeichnet – teile ich diese: so erhalte ich 4 Quadrate, dessen Seitenlängen logischerweise jeweils nur k beträgt.

Zu dem beweis:
Jetzt zu dem mit  - eine seite länger machen!
Also angenommen aus deinem beispiel, ich erweitere eines dieser 4 Quadrate der länge k um z.b. 1 dann erhalte ich natürlich – k+1, aber damit ich immer noch ein quadrat habe, muss eben das Gegenstück sich um 1 verinergn also k-1!!
Das hab ich verstanden!! Aber wenn ich angenommen, nur eines der Quadrate um 1 verlängere so muss ich doch auch nur eines um 1 verringern – hmmm nur wieso braucht man sichcerlich mehr als 3 Quadrate um „den rest ausfüllen zu können??“

--> ich habs jetzt auch mit dem quadrat der seitenlänge 6 – wie du sagtest probiert – teile ich diese so erhalte ich ja jeweils 4 quadrate der seitenlänge 3 – verlängere ich eines der quadrate um 1 so komme ich für das „verlängerte quadrtat“ auf eine seitenlänge von 4 und das gegenstück wird zu 2 !! -

--> Dann hab ich noch eine anmerkung bzw. frage – das ergebnis von Q(2k) muss doch 4k² sein oder nicht?? – denn die Definition ist ja Q(n)= n x n ??!!

- dann entschuldige ich mich für das missverständnis: ich hab mich wohl falsch ausgedrückt, denn ich hab das Q(7) nicht auf Q(2k) bezogen: nochmals sry!!

Ok dann zu der aufgabe mit Q(7) – ich hab hier jetzt ein großes Quadrat der seitenlänge 7 – also sind es insgesamt 49 kleine kästchen (im rechenheft!!) nach der ersten möglichkeit, wenn die seitenlänge eines kleinen quadrates 1 beträgt! –
So dann habs ich mit der seitenlänge zwei versucht und nur 9 quadrate der seitenlänge 2 unterbrungen können.
Nehmen wir die seitenlänge 3 so kann ich insgesamt: nur 4 quadrate unterbringen
Und nehme ich die seitenlänge 4 so ist es möglich: nur noch ein quadrat der seitenlänge 4 zu bilden.


Also: bei einer seitenlänge  --> 49 kleine quadrate
      Bei 2                               ->  9 quadrate#
      Bei 3                               ->  4 quadrate
    Und bei 4                         ->  nur noch ein ganzes Quadrat

Mein Herzlherzlichster dank!! – ich hoffe du hilfst mir noch mal: denn außer dir kann das glaub ich eh keiner!! ;-) – außer wenn ich zu deinem „lehrling“ werden darf!?!


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Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mo 18.12.2006
Autor: drPC

du hast doch ma ganz am anfang geschriben:

Q(7)=49 ->  7² = 49
                6² + 13  = 49 - und dann noch n= 14!!
ich hab das jetzt mit den zahken 5 bis 2 durchgeführt - da ja n größer sein muss als 2 -> also hab ich raus : 5² + 24 = 49 !! und nach diesem schema eben für 4² + 33 = 49 - und 3² + 40 = 49 und - 2² + 45 = 49

aber wies kommst du auf diese n=14 - ist es die 13 und eben eine 1 = 14
- soll ich des mit den restlichen zahlen auch machen?? weil die 14 sagt doch aus, wieviel quadrate ich dann habe oder nicht??

------------------------------------------------------------------------------

dann haste das ja ausgeführt mit: 7² = 4² + 3*3² + 6*1² --> n= 10

- nur wieso du das so gemacht hast hab ich auch nach mehrmaligem zeichnen noch immer nicht wirklich kapiert ??

--> ich hoffe du antwortest mir!!!!!!!!!!!


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Quadrate - Zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:17 Di 19.12.2006
Autor: leduart

Hallo
Du hast scheins immer noch nicht die Aufgabe kapiert.
Q(n) ist die kleinste Zahl von Quadraten, mit denen du das grosse Quadrat AUSFÜLLEN  kannst! Betonung auf ausfüllen!
Wenn du z.Bsp. in dein 7-er Quadrat deine 9 2er eingezeichnet hast ist es ja noch nicht ausgefüllt, denn die haben ja nur den Inhalt 9*4=36 Kästchen, bleiben 13über, die du mit Einer Kästchen füllen musst! also insgesamt 9+13=22 Quadrate, das sind nicht besonders wenige, wenn dus mit 3-ern versuchst krigst du 4 rein, was bleibt übrig?
Dann eine 4 und 3 3er, was bleibt übrig?
[mm] 49^2=1*4^2*3*3^2+6*1^2 [/mm] sagt dass man einen 4-er, 3-3er, und 6 Einer unterbringen kann! Und dann ist es voll, weil das als Fläche 49 gibt, und es mit den Seiten auch passt.
Gruss leduart

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Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Di 19.12.2006
Autor: drPC

hi;

okkkkk!! man zuerst möchte ich mich nochmals bedanken, dass du dir zeit nimmst, um mir weiterzuhelfen!!

also mein aktueller stand:

wir haben ein Q(7) - dessen größe ya aufgrund des nxn - 49 beträgt!!

die möglichkeit dieses quadrat aufzuteilen ist wie folgt:

--> 49 = 7 * 1² (insgesamte anzahl der quadrate unabhängig der seitenlänge: 49)
--> 49 = 9*2² +  13 * 1² (insg: 22)
--> 49 = 4 * 3² + 13 * 1² (insg: 17)
--> 49 = 1 * 4² + 3 * 3² + 6 * 1² (insg: 10)
--> dass kann ich doch bis zur seitenlänge von 7 weiterführen, d.h.
--> 49 = 1 * 5² + 3*2² + 7*1² (insg: 11)
--> 49 = 1 * 6² + 13 * 1² (insg: 14) und noch:
--> 49 = 1* 7² (insg. : 1)

- die frage lautete ja - wie groß ist Q (7) - also wäre hiermit die frage beantwortet!!! denn Q(7) bestimmt ja die anzahl der quadrate!!!!! ;-)

- und dann gabs da noch den zusatz: dass man belegen muss, dass es keine gültige zerlegung mit weniger quadraten geben könnte!! und das wäre also nach meinem mathematischem verständniss, ebenfalls geklärt - oder?? is ja das was ich da oben hingeschreiben hab!!

---------------------------------------------------------------------------------------
und bei der anderen teilaufgabe mit Q (2k) - reicht es also - wenn ich hinschreibe:

Q (2k) = 4k²

und ich kann hier bei einer seitenlänge von einem k eben 4 quadrate erreichen - und bei 2k wäre es dann nur noch ein quadrat!!

- was soll ich zu dem beweis der aufgabe sagen???

nochmals möchte ich sagen: dankeeeeeeeeeeeee!!!!!!

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Quadrate - Zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Mi 20.12.2006
Autor: leduart

Hallo
1. Q(2k)=4 und nicht [mm] 4k^2, [/mm] weil man es in 4Quadrate zerlegen kann und nicht in weniger. [mm] (4k^2 [/mm] wäre die größt mögliche Zahl, nämlich lauter Einer Qu.)
Das 2. nämlich nicht weniger, musst du noch beweisen, d.h. ein Argument sagen, warum es nicht mit weniger, (also 3 oder 2) geht, und auch sagen, warum es immer mit 4 geht.
Du hast jetzt fast in jedem post geschrieben, dass [mm] Q(2k)=4k^2 [/mm] ist. Wenn du noch mal ne Frage hast, möcht ich, dass du erstmal in deinen Worten sagst, was die Zahl Q(n) bedeutet!
Zu Q(7): es gibt noch eine kleinere Zahl als 10!
nämlich 9 : 1 Vierer, 2 3er, 3 2er und 3 Einer also  insgesamt 9 [mm] 49=4^2+2*3^2+3*2^2+3*1^2=16+18+12+3 [/mm]
Damit ist Q(7)=9
Das ist mit Argumenten schlechter zu zeigen, Eine Möglichkeit ist alle möglichen Kombinationen aufzuzählen, und zu zeigen, dass das wirklich alle möglichen sind. und warum sie auch reinpassen, nicht nur vom flächeninhalt, sondern auch von den Seitenlängen her.
Gruss leduart


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Quadrate - Zerlegen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Mi 20.12.2006
Autor: drPC

Ich bedanke mich bei dir für deine hilfe – und möchte erwähnen: dass ich mein(+dein[fast nur dein ;-)]) ergebnis morgen leider schon abgeben muss!! Ich wäre dir dankbar wenn du dir meinen letzten ansatz ansiehst – und evtl. noch was dazu schreiben könntest??

 Q(n) ist die anzahl von den quadraten, die mindestens in das große quadrat reinpassen würden - und das flächeninhalt des großen quadrates volkommen ausgeschöpft ist!!!!!deshalb verstehe ich jetzt auch wieso diese unabhänmgig von t sein muss!! Also Q(2k)=4!!

Zu der teilaufgabe 1:
Das Q(2k) – kann ich nicht in 3 oder 2 Teilquadrate teilen, denn so müsste man die quadrate verlänger oder kürzen(sonst wären es rechtecke und keine quadrate!!).
Und mit 4 quadraten ist es immer möglich, denn somit haben wir pro quadrate eine seitenlänge von nur einem k!

Zu der teilaufgabe 2:
Hmmm ok daran habe ich nicht gedacht, dass Q(7) auch 9 sein könnte – also wären ja jetzt alle möglichkeiten abgedeckt??

Ich werde es dann wie du erwähnt hast: alle möglichkeiten vorrechnen und diese kombinationen näher erläutern:
- erstens aufgrund des flächeninhaltes
- und zweitens aufgrund ihrer seitenlängen!!

Ist das soweit akzeptabel??


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Quadrate - Zerlegen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Mi 20.12.2006
Autor: leduart

Hallo
Du hast es zwar nicht gut formuliert, aber wenigstens begriffen.
zu(Q(2k) 1.mit 4 Qud, der Länge k kann man ausfüllen
2. nimmt man ein Qu. größer als k, passen höchstens noch qu. der Grösse (k-1)°2 rein und davon, oder kleineren braucht man mehr als 3. Also ist 4 die kleinste Zahl.
Zu Q(7),mit nur 1er und 2er zu pflstern ergibt eine Zahl größer 10, denn es passen vom Flächeninhalt 12 2er +1 Einer rein.
also müssen die Qu. größer gleich 3 sein. nimmt man nur 3er, bleiben 17 Einer übrig, also 3er und 4er. " Möglichkeiten [mm] 1*4^2 [/mm] (mehr passen wegen der Seitenlänge nicht) [mm] 3*3^2 [/mm] und [mm] 6*1^2 [/mm] ergibt 10
oder [mm] 1*4^2, 2*3^2, 4*2^2,3*1^2 [/mm] das ergibt 9
1*5 passen nur noch 2er, also 4 2er bleiben 4 einer auch mehr als 9.
1*6 bleiben nur einer und davon 13 auch größer 9
also ist 9 die kleinst Zahl und damit Q(7)=9
Viel Spass! Wenn du geprüft wirst, kannst du Q(5) jetzt selbst rausfinden?
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                
Bezug
Quadrate - Zerlegen: thx
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Do 21.12.2006
Autor: drPC

danke!! - vlt in den ferien hoffentlich - ich habs heute vorgetragen - mal sehn was draus wird - dank dir nochmal!!!!

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