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Quadrate/Nichtquadrate: Tipp/Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 So 23.07.2017
Autor: Florian144

Aufgabe
Sei p=4a-1 eine Primzahl (a [mm] \in \mathbb{N}) [/mm]
Es sei Q die [mm] z^{2} [/mm] mit z [mm] \in F_{p} [/mm] , d.h. Q = [mm] \{z^{2} | z \in F_{p}\} [/mm]
N ist [mm] F_{p} [/mm] \ Q
Sei s [mm] \in [/mm] Q, s [mm] \not= [/mm] 0

Zu zeigen: [mm] |\{z+s; z \in N\} \cap [/mm] Q| = a



Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht.

Wenn ich mir die Definition der Menge, dessen Anzahl ich bestimmen will, muss z + s = [mm] b^{2} [/mm] für ein b aus [mm] F_{p} [/mm] sein.

Aber wie fange ich jetzt am besten an?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

P.S. Wir dürfen und sollen nutzen, dass für

[mm] \chi [/mm] : [mm] F_{q} \to \mathbb{Z} [/mm]
[mm] \chi(x) =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{=0} \\ 1, & \mbox{für } x in \mbox{ Q\0} \\ -1 , & \mbox{für } x \mbox{in N} \end{cases} [/mm] gilt:

Für a [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] \sum_{x \in F_{q}} \chi(x) \chi(x-a) [/mm] = -1


        
Bezug
Quadrate/Nichtquadrate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mo 24.07.2017
Autor: felixf

Moin!

> Sei p=4a-1 eine Primzahl (a [mm]\in \mathbb{N})[/mm]
> Es sei Q die [mm]z^{2}[/mm] mit z [mm]\in F_{p}[/mm] , d.h. Q = [mm]\{z^{2} | z \in F_{p}\}[/mm]
>  
> N ist [mm]F_{p}[/mm] \ Q
>  Sei s [mm]\in[/mm] Q, s [mm]\not=[/mm] 0
>  
> Zu zeigen: [mm]|\{z+s; z \in N\} \cap[/mm] Q| = a
>  
>
> Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht.
>  
> Wenn ich mir die Definition der Menge, dessen Anzahl ich
> bestimmen will, muss z + s = [mm]b^{2}[/mm] für ein b aus [mm]F_{p}[/mm]
> sein.
>  
> Aber wie fange ich jetzt am besten an?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> P.S. Wir dürfen und sollen nutzen, dass für
>  
> [mm]\chi[/mm] : [mm]F_{q} \to \mathbb{Z}[/mm]
> [mm]\chi(x) =\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{=0} \\ 1, & \mbox{für } x in \mbox{ Q\0} \\ -1 , & \mbox{für } x \mbox{in N} \end{cases}[/mm]
> gilt:
>  
> Für a [mm]\not=[/mm] 0 gilt:
>  [mm]\sum_{x \in F_{q}} \chi(x) \chi(x-a)[/mm] = -1

Für $x [mm] \neq [/mm] 0$ gilt doch $x [mm] \in [/mm] Q [mm] \cap [/mm] (s + N) [mm] \Longleftrightarrow \chi(x) [/mm] = 1 [mm] \wedge \chi(x [/mm] - s) = -1$. (Hier ist $s + N = [mm] \{ s + n \mid n \in N \}$.) [/mm] Weiterhin ist $0$ nicht in $Q [mm] \cap [/mm] (s + N)$ enthalten, da sonst $-s [mm] \in [/mm] N$ wäre: jedoch ist $-1$ ein Quadrat in [mm] $\IF_q$, [/mm] da [mm] $\IF_q^\ast$ [/mm] eine zyklische Gruppe der Ordnung $4 p$ ist und es somit auch ein Element der Ordnung 4 gibt, dessen Quadrat gleich -1 ist.

Vielleicht hilft es, wenn du dir überlegst, was [mm] $\chi(x) [/mm] = -1$ und [mm] $\chi(x [/mm] - s) = 1$ bedeutet.

LG Felix


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