Quadrate in endlichen Körpern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 So 11.03.2007 | | Autor: | anna_s |
| Aufgabe | Sei [mm] q=2^n , n\in\IN [/mm]
Dann sind alle Elemente von [mm] F_q [/mm] Quadrate. |
Hallo,
Ich habe mir die Aufgabenstellung anschaulich schon klar gemacht und weiß, dass der Beweis über die Bijektion der Abbildung [mm] f(x)=x^2 [/mm] in [mm] F_q [/mm] geht. Bräuchte einen Tipp wie man formal beweist, dass f bijektiv ist.
Vielen Dank im Voraus,
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zeige, daß [mm]f[/mm] injektiv ist. Wegen der Endlichkeit der Urbildmenge ist das mit der Bijektivität äquivalent. Beachte die Regel
[mm]\left( x_1 + x_2 \right)^{\ 2} = x_1^{\ 2} + x_2^{\ 2}[/mm]
Und statt [mm]+[/mm] kann man bei Charakteristik 2 genausogut [mm]-[/mm] schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 11.03.2007 | | Autor: | anna_s |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Kann ich den Beweis also so machen:
Sei [mm] f(x)=f(y) [/mm], d.h. [mm] f(x)-f(y)=0 [/mm]. Dann gilt:
[mm] 0=x^2 - y^2 = (x-y)^2 [/mm] und damit [mm] x-y=o [/mm], also f injektiv
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