Quadratfrei - Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Zahl n heißt quadratfrei, wenn sie durch kein Quadrat > 1 teilbar ist.
Zeigen Sie: Jede Zahl n läßt sich darstellen als [mm] n=s^2*t, [/mm] wobei t quadratfrei ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Habe mein erstes Zahlentheorie-Übungsblatt erhalten und weiß auf eine einzige Aufgabe eine Lösung. Bei der obigen Aufgabe fehlt der Ansatz bzw. ich bin mir bei meinem Vorgehen nicht sicher.
1. ) n bzw. t sind quadratfrei, d.h. das sind z.B. folgende Zahlen:
5, 7, 12, 14, 63,...
Richtig?
2.) Die Darstellung besagt: Eine quadratfreie Zahl lässt sich als quadratfreie Zahl multipliziert mit einer quadratischen Zahl darstellen. Wobei ich voraussetzen kann, dass [mm] n\ne [/mm] t
Richtig?
3.)
So hier mal mein Ansatz:
[mm] s^2=\bruch{n}{t}
[/mm]
da [mm] s^2 [/mm] eine Quadratzahl ist, muss gelten [mm] s,s^2\in [/mm] N. Dies wiederum bedeutet, dass [mm] \bruch{n}{t}, \sqrt{\bruch{n}{t}} [/mm] rational sein müss.
[mm] s=\sqrt{\bruch{n}{t}}en
[/mm]
Stimmt das soweit? Oder bin ich komplett falsch?
Ein Rechenbeispiel ist: [mm] 63=3^2*7. [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich glaube, dass du dir Folgendes klar machen musst :
Die beiden n's in dem Text der Aufgabe sind nicht dasselbe !
In dem ersten Satz wird n als Variable für eine natürliche Zahl benutzt, um den Begriff "quadratfrei" zu definieren. Das war's. Die Definition steht jetzt da, der Buchstabe n ist wieder frei und darf von dir oder mir oder jedem anderen benutzt werden, um irgendwelche Sachverhalte auszudrücken.
Wenn ich jetzt z.B. schreibe, dass die allgemeine Form der Geradengleichung "y = m*x + n" sei, so behaupte ich damit natürlich nicht, dass n quadratfrei sein muss, noch nicht einmal, dass n eine natürliche Zahl sein muss.
Im zweiten Satz wird eine Aussage formuliert, die für jede (auch nicht quadratfreie) Zahlen bewiesen werden soll. Zur Formulierung der Aufgabe wird wieder der Buchstabe n benutzt.
Dein Beispiel 63 = 7*9 ist recht gut. Überlege dir, warum jede Zahl so geschrieben werden kann. 1176 = [mm] t*s^2. [/mm] Was ist t ? Was ist s ? Hinweis : Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
Gruß Sax.
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Vielen Dank für die Korrektur.
Also,
- n eine natürliche Zahl, z.B. 4,5,6,7,....
- [mm] s^2 [/mm] ist eine Quadratzahl, die zerlegbar ist, also s*s
- t darf nicht durch eine Quadratzahl teilbar sein, d.h. t darf nicht durch 4,9,16,25,36,... teilbar sein, darf aber durch 2,3,5,7,8,10,11,12 teilbar sein
Ist das soweit korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn t durch 8 oder 12 tb ist dann auch durch 4 also nicht quadratfrei.
nochmal verwende die Zerlegung von n in Primfaktoren.
[mm] n=p_1^{k_1}+p_2^{k_2}.....
[/mm]
Fallunterscheidung [mm] k_i=2m_i+1 [/mm] oder [mm] 2m_i [/mm] kommst du damit zum Ende
Gruss leduart
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