Quadratfreiheit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Do 22.11.2012 | | Autor: | tagg |
| Aufgabe | | Warum gibt es p mit f quadratfrei mod p? |
Hallo,
Zur Prüfungsvorbereitung arbeite ich gerade Fragen durch, die der Professor bereits in vorigen Prüfungen gestellt hat. Bin dabei auf obige Frage gestoßen und scheine eine kleine Blockade zu haben.
Quadratfrei mod p bedeutet ja, dass ich mein beliebiges Polynom f in [mm] \IF_{p}[x] [/mm] (p geeignet) betrachte, sodass $ ggT(f, f') = konstant $
Damit komme ich aber natürlich noch nicht so weit, wie ich muss. Welche Eigenschaft in [mm] \IF_{p} [/mm] kann ich noch verwenden, um diesen Test zur Quadratfreiheit bestehen zu können?
Danke euch vielmals!
|
|
| |
|
moin,
Da du dich auf eine Prüfung vorbereitest als erstes mal ein kleiner Tipp:
Definiere deine Begriffe sauber!
Also die Frage lautet nicht "Warum gibt es p mit f quadratfrei mod p?" sondern die Frage lautet:
| Aufgabe | Begründe/Beweise:
Sei $f [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] ein quadratfreies Polynom vom Grad [mm] $\geq [/mm] 1$. Dann gibt es ein $p [mm] \in \IP$, [/mm] sodass $f$ auch aufgefasst als Polynom in [mm] $\IF_p[x]$ [/mm] quadratfrei ist. |
Wie du hier siehst muss ich bereits ein paar Dinge über $f$ und $p$ annehmen, die du mit keiner Silbe erwähnt hast.
Wäre etwa $f$ bereits in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] nicht quadratfrei, so wäre es auch modulo $p$ nie quadratfrei; und zwar für jede Primzahl $p$.
Manche wenn nicht sogar die meisten Professoren würden dir wenn du in der Prüfung so formulierst - zum einen unvollständig zum anderen essenzielle Infos weglassen - den Kopf abreißen.
Nun aber zur eigentlichen Frage:
Ich verwende hierfür die ![[]](/images/popup.gif) Sylvestermatrix.
Falls du die noch nicht hattest so müsstest du mal verraten was du bereits kennst und was hier für den Beweis helfen könnte.
Wie du richtig festgestellt hast, muss ggT$(f,f') = 1$ gelten (ggTs von Polynomen über Körpern sind nach Definition immer normiert).
Dies ist äquivalent dazu, dass die Sylvestermatrix von $f$ und $f'$ Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ hat.
Da $f$ über [mm] $\IZ$ [/mm] quadratfrei ist, ist die Determinante auf jeden Fall ein $0 [mm] \neq [/mm] d [mm] \in \IZ$. [/mm] Damit gibt es nur endlich viele Primzahlen $p$ mit $p | d$, insbesondere gibt es nur endlich viele Primzahlen $p$ mit $d [mm] \equiv [/mm] 0$ (mod $p$).
Da es unendlich viele Primzahlen gibt muss es somit ein $q [mm] \in \IP$ [/mm] geben mit $d [mm] \not\equiv [/mm] 0$ (mod $q$) und damit $f [mm] \in \IF_q[x]$ [/mm] quadratfrei.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Do 22.11.2012 | | Autor: | tagg |
hallo,
herzlichen dank für deine antwort!
Ich wasche meine Hände in Unschuld: Ich habe die Frage nicht selbst formuliert, sondern bin darauf gestoßen und wusste nicht, was damit anzufangen ist :)
aber mit den zusätzlichen Voraussetzungen und der Silvestermatrix ergibt das alles durchaus sinn, vielen Dank für deine Hilfe!!
|
|
|
|
