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Forum "Mathe Klassen 5-7" - Quadratische Ergänzung
Quadratische Ergänzung < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratische Ergänzung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mi 07.09.2005
Autor: break

Hallo,

Könnte mir einer die Vorgehensweise der Quadratischen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Mi 07.09.2005
Autor: leduart

Hallo
erst mal das Ziel der quad. Ergänzung:
[mm] 1.x^{2}=a [/mm] kannst du leicht lösen  [mm] (x-b)^{2}=a [/mm] kannst du hoffentlich auch noch leicht lösen: (x-b) [mm] =\pm\wurzel{a} [/mm]  x=b [mm] \pm\wurzel{a}. [/mm]
[mm] x^{2}+ax [/mm] +b =c kannst du nicht. Aber wenn da stände [mm] x^{2}+2ax+a^{2}=c [/mm] dann solltest du links sehen dass es die binomische Formel ist und sofort hinschreiben: [mm] (x+a)^{2}=c [/mm] und das kannst du ja lösen!
Deshalb versucht man so ne Binomischen Ausdruck hinzukriegen.
Und das versuch ich jetzt zu erklaren:
Wenn ich habe [mm] x^{2}+px+q=0 [/mm]   dann denk ich erst mal an das 2a beim x und [mm] schreibe:x^{2}+2*\bruch{p}{2}x+q=0 [/mm]
jetzt entspricht [mm] \bruch{p}{2} [/mm] meinem a   aber es fehlt [mm] a^{2} d.h.(\bruch{p}{2})^{2} [/mm]   das schreib ich einfach dazu, weil dann aber die Gleichung nicht mehr stimmen würde, zieh ich es gleich wieder ab! also
[mm] x^{2}+2*\bruch{p}{2}x +(\bruch{p}{2})^{2} [/mm] +q=0
jetzt den Binom anwenden:
[mm] (x+\bruch{p}{2})^{2}-(\bruch{p}{2})^{2}+q=0 [/mm]
oder [mm] (x+\bruch{p}{2})^{2}=(\bruch{p}{2})^{2}-q [/mm]
und das kannst du jetzt einfach wie oben lösen.
Zusammenfassen: Faktor vor x halbieren, quadrieren dazuzählen und abziehen, Binom als [mm] ()^{2} [/mm] schreiben.usw.
dass du das fehlende Quadrat dazuschreibst und dann das Binom als Quadrat schreibst nennt man dann"quadratische Ergänzung".
Ich hoff alles ist klar, sonst frag nach
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Fr 09.09.2005
Autor: break

Hallo,

Also ich hab es mal probiert! Hier mein Ansatz:

x² + 2x - 4
x² + 2x - 1 + 1 - 4
(x+1)² - 5

also das ist mit den Extremwerten welche sich aus der quadratischen Ergänzung resulitieren!

gruß,
break

Bezug
                
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Fr 09.09.2005
Autor: Julius

Hallo break!

> x² + 2x - 4
>  x² + 2x - 1 + 1 - 4
>  (x+1)² - 5

[daumenhoch],

auch wenn ich in der zweiten Zeile eher [mm] $x^2+2x+1-1-4$ [/mm] geschrieben hätte, dann ist es etwas deutlicher (ist aber egal).
  

> also das ist mit den Extremwerten welche sich aus der
> quadratischen Ergänzung resulitieren!

Ja, das kann man daran ablesen. Du hast ja jetzt die Scheitelpunktform der Parabel gebildet. Aus der Gleichung

$y=(x+1)² - 5$

kann man ablesen, dass $S(-1/-5)$ der Scheitelpunkt ist. Dies ist zugleich der Tiefpunkt des Graphen, denn die Parabel ist ja nach oben geöffnet (ersichtlich an dem positiven Vorzeichen vor dem [mm] $x^2$, [/mm] im Falle [mm] $-2x^2 [/mm] + [mm] \ldots$ [/mm] etwa wäre die Parabel nach unten geöffnet).

Machen wir uns doch auch mal mathematisch klar, dass an der Stelle $S(-1/-5)$ ein Tiefpunkt ist:

Für welches $x$ wird [mm] $(x+1)^2-5$ [/mm] am kleinsten?

Der Ausdruck [mm] $(x+1)^2$ [/mm] ist ja das Quadrat einer reellen Zahl. Dieses kann nie negativ werden, ist also entweder $0$ oder positiv. Es ist somit am kleinsten, wenn es gleich $0$ ist. Und dies ist genau dann der Fall, wenn $x=-1$ ist.

Möchtest du noch mehr Aufgaben versuchen? Dann stelle doch einfach ein paar Aufgaben mit deinen Lösungsvorschlägen hier herein und wir kontrollieren sie. :-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 So 11.09.2005
Autor: break

Hallo,

Also ich habe da noch eine Aufgabe gemacht aber ich weis nicht ob sie so ganz stimmt!

[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [ x² -  [mm] \bruch{36}{5} [/mm] +  [mm] \bruch{36}{5}] [/mm]
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [ x² - 7,2x + 7,2 ]
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [ x² - 7,2x + 3,6² - 12,96 + 7,2]
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [(x-3,6)² - 5,76

Also schon wie oben gesagt weis ich nicht ob es stimmt!

gruß,
break

Bezug
                                
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 So 11.09.2005
Autor: DaMenge

Hallo,


> [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² -  [mm]\bruch{36}{5}[/mm] +  [mm]\bruch{36}{5}][/mm]
>   [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 7,2 ]
>   [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 3,6² - 12,96 + 7,2]
>   [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [(x-3,6)² - 5,76]
>  

ja, deine Ergänzung stimmt, habe alles mit einem Taschenrechner nachgerechnet. (in der ersten Zeile hast du nur ein x vergessen, richtig?)

Aber du hast ja jetzt nicht (ganz) die Scheitelpunktform.
(Marc erklärt im Folgenden, wie man sie bekommt)


Man hätte den Vorfaktor in die Klammer ziehen können:
[mm] $\bruch{5}{3}x^2+\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}*x-\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}$ [/mm]
[mm] $\bruch{5}{3}x^2+12*x-12$ [/mm]

kannst du dir denn jetzt herleiten, wie man hier im allgemeinen Fall quadratisch Ergänzen kann?
(Vorsicht: [mm] $\bruch{5}{3}x^2$ [/mm] entspricht dem a² in der binomischen Formel, d.h. man muss a auch erst berechnen, damit man es im zweiten Term berücksichtigen kann : 2ab entspricht 12x , dann kann man erst b herausfinden)

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                                        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Vorfaktor zum Schluss beachten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:41 So 11.09.2005
Autor: Marc

Hallo DaMenge,

> > [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² -  [mm]\bruch{36}{5}[/mm] +  [mm]\bruch{36}{5}][/mm]
>  >   [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 7,2 ]
>  >   [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 3,6² - 12,96 + 7,2]
>  >   [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [(x-3,6)² - 5,76]
>  >  
>
> ja, deine Ergänzung stimmt, habe alles mit einem
> Taschenrechner nachgerechnet. (in der ersten Zeile hast du
> nur ein x vergessen, richtig?)
>  
> Aber du hast ja jetzt nicht die Scheitelpunktform.
>  Man hätte den Vorfaktor in die Klammer ziehen können:
>  
> [mm]\bruch{5}{3}x^2+\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}*x-\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}[/mm]
>  [mm]\bruch{5}{3}x^2+12*x-12[/mm]
>  
> kannst du dir denn jetzt herleiten, wie man hierfür
> quadratisch Ergänzen kann?
>  (Vorsicht: [mm]\bruch{5}{3}x^2[/mm] entspricht dem a² in der
> binomischen Formel, d.h. man muss a auch erst berechnen,
> damit man es im zweiten Term berücksichtigen kann : 2ab
> entspricht 12x , dann kann man erst b herausfinden)

Das ist zwar richtig, aber eine quadratische Ergänzung mit [mm] $a=\wurzel{\bruch{5}{3}}x$ [/mm] ist nicht gerade dankbar ;-)

Es geht hier und im allgemeinen auch viel einfacher, wenn man genau wie break vorgeht und ganz zum Schluss dann den Vorfaktor ausmultipliziert:

(breaks Rechnungen)
[mm] $\gdw$ $\bruch{5}{3} \* [/mm] [(x-3,6)² - 5,76]$
[mm] $\gdw$ $\bruch{5}{3} \* [/mm] (x-3,6)² - [mm] \bruch{5}{3}*5,76$ [/mm]

Dies ist dann die Scheitelpunktsform, der Scheitelpunkt liegt bei [mm] $S\left(3.6;- \bruch{5}{3}*5,76\right)$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                
Bezug
Quadratische Ergänzung: stimmt - sorry !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:31 So 11.09.2005
Autor: DaMenge

Hallo Marc,

danke für den Hinweis - ich hatte nur die simple Variante der MBScheitelpunktform im Kopf (ohne Vorfaktor).
Da sieht man mal wieder, wie sehr auch den Antwortenden die ganze Sache helfen kann.

@break : dann entschuldige bitte, wenn ich dich verwirrt habe - wie Marc es schon schrieb : wenn man den Faktor zum Schluss noch reinzieht, dann kann man doch den Scheitelpunkt ablesen !
(Werde meine Falschaussage oben gleich streichen)

viele Grüße
DaMenge

Bezug
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