Quadratische Form-Basis finden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] V=M(n\times n,\IR) [/mm] und q: [mm] V\to\IR [/mm] gegeben
durch [mm] q(X)=\bruch{1}{2} Spur(X^{2}). [/mm] Zeigen Sie, dass q eine quadratische Form ist. Finden Sie eine Basis von V, so dass die Matrix der zu q gehörenden Bilinearform eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen aus [mm] \left\{ 0, \pm 1 \right\} [/mm] ist. Bestimmen Sie die Signatur von q. |
Hey, ich weiß leider nicht wie man die Basis dazu finden soll. Habe schon gezeigt, dass das eine quadratische Form ist (einfach die Eigenschaften nachweisen: [mm] q(\alpha v)=\alpha^{2}q(v) [/mm] und [mm] \beta_{q}(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w) [/mm] bilinear). Wie finde ich denn jetzt die dazugehörende Basis? Nach dem Trägheitssatz von Sylvester gibt es ja eine Basis bzgl. dieser Diagonalmatrix, da es sich um eine symmetrische Bilinearform handelt und es gilt doch [mm] A=SDS^{t}, [/mm] wobei D die Diagonalmatrix ist und S die Basiswechselmatrix. Hilft mir das denn weiter? Nur wie komme ich denn jetzt auf die Basis?
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Mi 05.06.2013 | | Autor: | hippias |
Es genuegt eine Orthonormalbasis bezueglich [mm] $\beta_{q}$ [/mm] zu bestimmen; z.B. mit dem Gram-Schmidt-Verfahren. Jedoch zuvor: ist [mm] $\beta_{q}$ [/mm] ausgeartet? Falls ja, bestimme $Rad(V)$ und finde ein Komplement $W$ von $Rad(V)$ in $V$; in $W$ kannst Du dann Gram-Schmidt benutzen. Die so gefundene Basis brauchst Du dann nur noch mit einer beliebigen Basis von $Rad(V)$ zu einer Basis von $V$ ergaenzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mi 05.06.2013 | | Autor: | feenzauber |
Ok also einfach irgendeine Orthonomalbasis berechnen und das ist dann auch genau die zu q gehörenden bilinearform dieser diagonalmatrix? Aber was ist denn radv? Das hatten wir noch nicht in der Vorlesung.
|
|
|
|
