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Hallo alle zusammen,
ich lerne gerade für eine Prüfung "Quadratische Formen" und habe ein paar Verständnisprobleme. Weil der Prüfer zur Zeit leider im Urlaub ist, versuche ich hier mein Glück. Also zunächst haben wir allgemein etwas über quadratische Formen gemacht, was ich auch alles verstanden habe. Dann kam aber ein Kapitel mit Gittern vor, womit ich so meine Probleme hatte.
1. Wenn die Grammatrix von einem Gitter gegeben ist, dann liegt dem doch immer ein Quadratischer Raum zu grunde, oder? Weil ja ansonsten die Einträge keinen Sinn ergäben. Wenn nichts angegeben ist, kann man dann immer davon ausgehen, dass die Bilinearform die Einheitsmatrix ist? Um ein konkretes Beispiel zu nennen: Welche Bilinearform liegt dieser Grammatrix des Gitters [mm] A_7 [/mm] zu Grunde?
[mm] \pmat{ 2& -1 &0& 0& 0& 0& 0\\
-1& 2& -1& 0 &0 &0 &0\\
0 &-1& 2 &-1 &0 &0 &0\\
0 &0 &-1 &2 &-1 &0 &0\\
0 &0 &0 &-1 &2 &-1 &0\\
0 &0 &0 &0 &-1 &2 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0 &-1 &2 }
[/mm]
2. Kann man immer eine Grammatrix/Bilinearform finden, so dass die Gitterbasis die Standardbasis ist? Das wurde in der Vorlesung für [mm] E_6 [/mm] mit Hilfe eines Basiswechseln im Vektorraum gemacht, aber für [mm] A_7 [/mm] bekomme ich selber nicht hin.
3. Kann man herausfinden zu welcher Bilinearform (symm., pos. def.) es bestimmte Gitter gibt?
4. Wenn man mehrere Gitter (über [mm] \IQ) [/mm] hat, kann man alle als Gitter über einem quadratischen Raum mit einer Bilinearform auffassen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 So 21.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Steffi!
> ich lerne gerade für eine Prüfung "Quadratische Formen"
> und habe ein paar Verständnisprobleme. Weil der Prüfer
> zur Zeit leider im Urlaub ist, versuche ich hier mein
> Glück. Also zunächst haben wir allgemein etwas über
> quadratische Formen gemacht, was ich auch alles verstanden
> habe. Dann kam aber ein Kapitel mit Gittern vor, womit ich
> so meine Probleme hatte.
Erstmal ein allgemeines Resultat:
Ist $V$ ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] mit irgendeiner Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] und ist $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] eine positiv definitive, symmetrische Matrix, so gibt es genau ein Skalarprodukt auf $V$, so dass die Gram-Matrix von [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] bzgl. diesem Skalarprodukt gleich $A$ ist.
Du kannst auch immer eine Basis [mm] $w_1, \dots, w_n$ [/mm] von [mm] $\IR^n$ [/mm] finden, so dass die Grammatrix von [mm] $w_1, \dots, w_n$ [/mm] bzgl. dem Standardskalarprodukt gerade $A$ ist. Diese Basis kannst du beliebig mit orthogonalen Abbildungen (bzgl. dem Standardskalarprodukt) veraendern, ohne etwas an dieser Eigenschaft zu aendern.
(Du kannst hier auch das Standardskalarprodukt durch irgendein anderes Skalarprodukt ersetzen.)
> 1. Wenn die Grammatrix von einem Gitter gegeben ist, dann
> liegt dem doch immer ein Quadratischer Raum zu grunde,
> oder?
Du kannst immer einen quadratischen Raum (das ist vermutlich ein endlichdim. reeller Vektorraum mit nicht-degenerierter quadratischer Form?) und ein Gitter darin finden, dass gerade diese Grammartix hat. Das folgt z.B. aus dem Satz oben, da du aus dem Skalarprodukt durch $f(v) := [mm] \langle [/mm] v, v [mm] \rangle$ [/mm] eine quadratische Form bekommst.
> Weil ja ansonsten die Einträge keinen Sinn ergäben.
> Wenn nichts angegeben ist, kann man dann immer davon
> ausgehen, dass die Bilinearform die Einheitsmatrix ist?
Ja. Einfach bei dem Resultat oben [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] als die Standardbasis von [mm] $\IZ^n$ [/mm] waehlen.
> Um
> ein konkretes Beispiel zu nennen: Welche Bilinearform liegt
> dieser Grammatrix des Gitters [mm]A_7[/mm] zu Grunde?
> [mm]\pmat{ 2& -1 &0& 0& 0& 0& 0\\
-1& 2& -1& 0 &0 &0 &0\\
0 &-1& 2 &-1 &0 &0 &0\\
0 &0 &-1 &2 &-1 &0 &0\\
0 &0 &0 &-1 &2 &-1 &0\\
0 &0 &0 &0 &-1 &2 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0 &-1 &2 }[/mm]
Wenn $A$ diese Matrix ist, und du die Standardbasis von [mm] $\IR^n$ [/mm] (also [mm] $e_i [/mm] = (0, [mm] \dots, [/mm] 0, 1, 0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ mit der 1 an der $i$-ten Stelle) als Gitterbasis haben willst, dann setzt du einfach [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] := [mm] v^T [/mm] A w$. Dann gilt [mm] $\langle e_i, e_j \rangle [/mm] = [mm] a_{ij}$, [/mm] falls $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] ist.
> 2. Kann man immer eine Grammatrix/Bilinearform finden, so
> dass die Gitterbasis die Standardbasis ist? Das wurde in
ja, siehe oben.
> 3. Kann man herausfinden zu welcher Bilinearform (symm.,
> pos. def.) es bestimmte Gitter gibt?
Wie genau meinst du das? Wenn du ein Skalarprodukt auf einem endlich-dim. reellen Vektorraum $V$ hast und irgendeine Grammatrix, so kannst du immer eine Basis von $V$ finden, die bzgl. dem gegebenen Skalarprodukt gerade diese Grammatrix hat.
> 4. Wenn man mehrere Gitter (über [mm]\IQ)[/mm] hat, kann man alle
> als Gitter über einem quadratischen Raum mit einer
> Bilinearform auffassen?
Ja. Du kannst auch immer [mm] $\IR^n$ [/mm] mit dem Standardskalarprodukt nehmen.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für die Antwort. Damit hast du mir sehr weitergeholfen. Nachdem ich mir alles genau durchgelesen habe, hat sich Punkt 3 auch erledigt. Damit hast du mir sehr geholfen.
Viele Grüße
Steffi
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