Quadratische Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo nochmal
Meine hoffentlich erstmal letzte Frage.
Was bitte ist ein Extremwert bzw. Extremwerttherm?
Lg
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Erstmal danke für deine Mühe, aber ich versteh leider nur Bahnhof viel zu viel Fachbegriffe.
Nein hatte des Thema net in der Schule möchte mir die Mathematik nun aber gerne selber beibringen, um mein Abi nach zu holen.
Lg
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Hallo Schnickpick!
Eine Extremstelle oder auch meistens abkürzend als Extremum bezeichnet gibt auskunft über globale/lokale Minima oder Maxima einer Funktion. Was bedeutet das nun? Also nehmen wir an wir haben eine Funktion die ein Extremum besitzt. Dieses Extremum ist ein Maximum (oder auch Hochpunkt gennant). Das Maximum ist nun der Wert der Funktion an einer bestimmten Stelle in deren Umgebung die Funktion keinen größeren Wert animmt. Ganz analog ist auch der Begriff des "minimums" (oder tiefpunkt) definiert. So das ist die Defintion. Mit beispielen ist man aber meistens besser bedient also mache ich mal eins :)
Wir nehmen diese quadratische Funktion:
f(x)=x²+8x-4
Jetzt müssen wir diese Funktion differenzieren (auch im jargon "ableiten" gennant)
Die Ableitung ist:
f´(x)=2x+8
Hier wurde diese Regel zum differenzieren benutzt! [mm] f(x)=x^{n} [/mm] Als Ableitung bekommen wir [mm] f´(x)=n*x^{n-1} [/mm] Ich hoffe dir ist das differenzieren klar denn dies ist elementar um Extremmstellen zu berechnen.
So nun brauchen wir aber noch die 2. Ableitung! Das heisst die leiten unsere erste ableitung nochmals nach x ab!
f´´(x)=2
Jetzt wenden wir die Definition des Extremums an:
1. notwendige Bedingung: f´(x)=0 und f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
2. hinreichende Bedingung: f´´(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt und f´´(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt
für unsere Funktion folgt nun:
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x+8=0
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x=-8
[mm] \Rightarrow [/mm] x=-4
Das -4 ist unser "Kandidat" bezeichne ihn mit [mm] x_{E}=-4
[/mm]
Dieses Kandidaten setzen wir in unsere 2. Ableitung ein.
f´´(-4)=2 (die -4 können wir ja im prinzip nicht in unsere funktion einsetzten weil wir da ja kein "x" mehr stehen haben, aber es ist nicht immer so :) )
Wir haben also einen Teifpunkt: Den "x" Wert haben wir ja schon der ist -4 Jetzt müssen wir noch den "y" Wert berechnen. Wie wir das machen? Also wir seten unseren Kandidaten in unsere Ausgangsfunktion ein also in unser f(x).
f(-4)= (-4)²+7*4 -4
[mm] \Rightarrow [/mm] f(-4)=-16
Unser Tiefpunkt lautet also TP(-4 | -16). Fertig
Ich hoffe du hast das verstanden ansonsten kannst du dich ja nochmal melden.
Lieben Gruß
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> Was bitte ist ein Extremwert bzw. Extremwerttherm?
Ein Extrempunkt ist ein Hoch-,Tief- oder Sattelpunkt in einer Funktion!
Die Nullstellen der Ableitung zeigen an, wo er sich auf der X-Achse befindet!
Hoffe das hilft Dir!
LG Doro
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Quelle
