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| Aufgabe | | Ein rechteckiger Hühnerstall soll mit 19 m Zaun eingezäunt werden. Dabei soll die größtmögliche Fläche gefunden werden. Bestimmen Sie die gesuchte Fläche und erläutern Sie, warum diese die größte ist. |
Hallo Zusammen,
wir sollen die oben genannte Aufgabe lösen.
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, weiß
nicht so recht, wie ich da ran gehen soll.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 21.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b zu bestimmen, und zwar so, dass der Flächeininhalt maximal werden soll.
Berechnen wir doch erstmal diesen Flächeninhalt, also:
A(a;b)=a*b
Jetzt weisst du, dass um das REchteck 19m Zaun gespannt werden soll, da du genau diesen zur Verfügung hast, also soll der Umfang 19m betragen, so dass du u=2a+2b=19 hast.
Also [mm] b=\bruch{19}{2}-a
[/mm]
Wenn du das in die Flächeninhaltsfunktion einsetzt, ergibt sich:
[mm] A(a)=a*\left(\bruch{19}{2}-a\right)
[/mm]
Und das ergibt, wenn du es ausmultiplizerst, eine Parabel, die nach unten geöffnet ist. Bestimme von dieser mal den Scheitelpunkt, der Wert für a ist die Seitenlänge für a, die den maximalen Flächeninhalt ergibt. Hast du diesen Wert, kannst du dann die andere Seitenlänge b und damit dann den maximalen Flächeninhalt A bestimmen.
Überlege aber mal, warum die Öffungsrichtung der Parabel dabei so wichtig ist.
Marius
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Vielen Dank für deine Antwort.
Habe noch mal eine Frage.
Wenn ich das ganze auflöse, dann erhalte ich
[mm] A(a)=-a^2 [/mm] + 9,5a
Der Scheitelpunkt dürfte S(-4,75/22,5625) sein?
Aber wie gelange ich jetzt auf mein a und b?
Ist das nicht egal, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 21.11.2010 | | Autor: | moody |
> Der Scheitelpunkt dürfte S(-4,75/22,5625) sein?
Nicht ganz, es ist +4,75, wie kommst du auf Minus?
> Aber wie gelange ich jetzt auf mein a und b?
Du hast eine Funktion aufgestellt die in Abhängigkeit von a den Flächeninhalt angibt. Du willst jetzt wissen wann dieser am größten ist. Guck dir doch mal den Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel an. Welche Information über a liefert dir das?
Wenn du das hast ist b reines Einsetzen in deine Nebenbedingung.
> Ist das nicht egal, ob die Parabel nach oben oder unten
> geöffnet ist?
Eben nicht, sie beschreibt ja den Flächeninhalt. Zeichne einfach mal deine Funktion und guck sie dir an. Dann sollte dir klar sein warum sie in diesem Fall nicht nach oben geöffnet sein kann.
lg moody
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Hallo
ich erhalte durch quatratische Ergänzung
= [mm] -(a+4,75)^2+ [/mm] 22,5625)
und um auf den Scheitelpunkt gelange ich dann doch, indem ich das Vorzeichen vom summanden 4,75 umdrehe, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne deine Klammer mal wieder aus, dann merkst du, dass da ein Vorzeichenfehler vorliegt.
Gruss leduart
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Du hast eine Funktion aufgestellt die in Abhängigkeit von a den Flächeninhalt angibt. Du willst jetzt wissen wann dieser am größten ist. Guck dir doch mal den Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel an. Welche Information über a liefert dir das?
Irgendwie sehte ich dabei auf dem Schlauch :(
Kann mir nochmal jemand helfen?
Ich habe also den Scheitelpunkt (4,75/22,5625) und eine nach unten geöffnete Parabel.
Aber was mir das über den Flächeninhalt sagen soll, verstehe ich noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 21.11.2010 | | Autor: | moody |
> Kann mir nochmal jemand helfen?
> Ich habe also den Scheitelpunkt (4,75/22,5625) und eine
> nach unten geöffnete Parabel.
> Aber was mir das über den Flächeninhalt sagen soll,
> verstehe ich noch nicht.
Die Funktion gibt dir den Flächeninhalt ( y Wert ) in Abhängigkeit von deiner Seitenlänge a an.
Der Scheitelpunkt ( zeichne dir die Funktion ) ist das Maximum der Funktion, weil sie nach unten geöffnet ist. Größer als 22,56 wird der Flächeninhalt nicht. Und das ist bei 4,75 der Fall. Über deine Nebenbedingung kriegst du dein b heraus.
Ist dir das soweit klar?
lg moody
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Hallo
vielen Dank für eure Antworten.
Ich habe es jetzt verstanden und habe a und b ausgerechnet.
Jetzt habe ich allerdings noch eine kleine allgemeine Frage
zu quatratischen Funktionen.
Ist es immer so, wenn ich zwei lineare Funktionen multipliziere,
dass ich dann eine quatratische Funktion erhalte?
Erhalte ich dann alle Möglichkeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das Produkt von 2 linearen fkt, gibt immer ne quadratische, das kannst du ja leicht ausprobieren.
aber quadratische fkt die keine nullstellen haben, wie etwa [mm] y=x^2+4 [/mm] sind nicht das Produkt von 2 lin. fkt.
da lineare fkt immer Nullstellen haben, hat die entstehende qu. fkt immer genausoviel Nst wie die 2 linearen zusammen.
Gruss leduart
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Sehr gut, jetzt hab ich es!!
In einer Tabelle erkennt man quadratische Funktionen doch einfach daran, dass sich der x wert jeweils um eins erhöht und der entsprechende y wert quadriert wird, oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mo 22.11.2010 | | Autor: | moody |
f(x) = [mm] 2x^2 [/mm] + 16x
f(1) = 18
f(2) = 40
+1 und quadrieren passt hier nicht.
Ich kenne jetzt kein totschlag Kriterium aber ich bin mir recht sicher dass der Graph einer quadratischen Funktion immer eine Parabel ist, ausser a = 0.
lg moody
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