Quadratische Funktionen Aufg.5 < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 27.09.2012 | | Autor: | Spike156 |
| Aufgabe | Aufgabe 5
Von einer an einem geradlinigen Kanal liegenden Weidefläche soll ein rechteckiges Stück unter Einschluss des Kanals als Grenze mittels eines 240m langen Zaunes eingegrenzt werden.
5.1 Bestimmen sie den Funktionsterm der Flächeninhaltsfunktion.
5.2 Zeichnen sie den Graphen von A.
5.3 Bestimmen sie rechnerisch mithilfe der Scheitelpunktform die Seitenlängen der eingegrenzten Weidefläche so, dass der Flächeninhalt maximal wird. |
Moin,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
dass hier sind meine letzten Aufgaben die ich zu morgen alle haben muss *hust*
zu 5.1:
240m ist anscheinend eine Länge von meinem rechteckigen Stück jedoch komme ich nicht ganz drauf wie ich jetzt daraus den funktionsterm ableiten soll ...
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> Aufgabe 5
> Von einer an einem geradlinigen Kanal liegenden
> Weidefläche soll ein rechteckiges Stück unter Einschluss
> des Kanals als Grenze mittels eines 240m langen Zaunes
> eingegrenzt werden.
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> 5.1 Bestimmen sie den Funktionsterm der
> Flächeninhaltsfunktion.
>
> 5.2 Zeichnen sie den Graphen von A.
>
> 5.3 Bestimmen sie rechnerisch mithilfe der
> Scheitelpunktform die Seitenlängen der eingegrenzten
> Weidefläche so, dass der Flächeninhalt maximal wird.
>
>
> Moin,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> dass hier sind meine letzten Aufgaben die ich zu morgen
> alle haben muss *hust*
>
> zu 5.1:
>
> 240m ist anscheinend eine Länge von meinem rechteckigen
> Stück jedoch komme ich nicht ganz drauf wie ich jetzt
> daraus den funktionsterm ableiten soll ...
Mache dir klar, wie das ganze gebilde aussieht! Du hast ein Rechteck, wovon eine Seite nicht Zaun ist, sondern dort der Kanal langfließt. Daher müssen nur 3 Seiten des Rechteckes eingezäunt werden.
Flächeninhalt eines Rechteckes?
Was ist die Nebenbedingung? Also: 240m=...
Setze dann die Nebenbedingung in dei Formel für den Flächeninhalt ein.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Do 27.09.2012 | | Autor: | Spike156 |
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| | <----- rechteck
~~~~~~~~~~~~~~ <--- kanal
flächeninhalt eines rechtecks ist ja A=a*b
das mit der nebenbedingung check ich irgendwie nicht im text wie sich das dann auf die formel auswirkt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 27.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
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> | | <----- rechteck
> ~~~~~~~~~~~~~~ <--- kanal
>
> flächeninhalt eines rechtecks ist ja A=a*b
Nennen wir a die "Flussparallele" Seite, b die zum Fluß senkrechte Seite.
Dann gilt für den Flächeninhalt in der Tat [mm] $A=a\cdot [/mm] b$
>
> das mit der nebenbedingung check ich irgendwie nicht im
> text wie sich das dann auf die formel auswirkt...
Nun weisst du, dass du 240m Zaun zur Verfügung hast. Diese musst du auf die beidensenkrechten Seiten b und auf die eine flußparallele Seite a aufteilen, also gilt:
[mm] $240=2b+a\Leftrightarrow [/mm] a=240-2b$
Setze dieses in die Flächenfunktion ein, dann bekommst du
[mm] $A=b\cdot(240-2b)$
[/mm]
Diese Funktion, es ist eine Parabel, mache dir klar, warum, ist nun nur noch von der Seite b abhängig, bestimme den Scheitelpunkt der Parabel. Die erste Koordinate des Scheitelpunktes ist dein optimales b, die zweite Koordinate der optimale Flächeninhalt des Rechtecks. Die Seite a bekommst du dann über a=240-2b.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 27.09.2012 | | Autor: | Spike156 |
Hallo Marius,
bei mir hats noch nicht ganz klick gemacht - den ersten teil hab ich verstanden aber dann wo du sagst das $ [mm] A=b\cdot(240-2b) [/mm] $ ich davon den scheitelpunkt bestimmen soll versteh ich nicht so ganz:
die allgemeine scheitelpunkt form lautet ja
f(x)=a(x-xs)²+ys
muss ich jetzt $ [mm] A=b\cdot(240-2b) [/mm] $ das in die normale form umwandeln und nach b auflösen? oder für b irgendwelche werte einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 27.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> bei mir hats noch nicht ganz klick gemacht - den ersten
> teil hab ich verstanden aber dann wo du sagst das
> [mm]A=b\cdot(240-2b)[/mm] ich davon den scheitelpunkt bestimmen soll
> versteh ich nicht so ganz:
>
> die allgemeine scheitelpunkt form lautet ja
>
> f(x)=a(x-xs)²+ys
In der Tat.
>
> muss ich jetzt [mm]A=b\cdot(240-2b)[/mm] das in die normale form
> umwandeln und nach b auflösen?
Wandele in die Scheitelpunktform um, hier:
[mm] A(b)=\cdot(240-2b)
[/mm]
[mm] =-2b^{2}+240b
[/mm]
[mm] =-2(b^{2}-120b)
[/mm]
[mm] =-2(b^{2}-120b+3600-3600)
[/mm]
[mm] =-2((b-60)^{2}-3600)
[/mm]
[mm] =-2(b-60)^{2}+7200
[/mm]
> oder für b irgendwelche
> werte einsetzen?
Nein, den Scheitelpunkt bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Do 27.09.2012 | | Autor: | Spike156 |
ok das klingt gut :) wow ok das ist die scheitelpunktform so da setze ich jetzt aber für b werte ein um den Graphen zu zeichnen oder? und um 5.3 zu lösen was mache iche da?...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Do 27.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> ok das klingt gut :) wow ok das ist die scheitelpunktform
> so da setze ich jetzt aber für b werte ein um den Graphen
> zu zeichnen oder? und um 5.3 zu lösen was mache iche
> da?...
Wie ich in meine ersten Antwort schrieb:
Die erste Koordinate des Scheitelpunktes ist dein optimales b, die zweite Koordinate der optimale Flächeninhalt des Rechtecks. Die Seite a bekommst du dann über a=240-2b.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Do 27.09.2012 | | Autor: | Spike156 |
also ist der scheitelpunkt bei (60/7200) oder?
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> also ist der scheitelpunkt bei (60/7200) oder?
So sei es!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Do 27.09.2012 | | Autor: | Spike156 |
ok und wenn mich mein lehrer morgen fragt warum ich weiß das die erste koordinate für mein optimales b und die y koordinate für den optimalen flächeninhalt steht was antworte ich ihm dann ? ^^
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Servus,
du solltest in 5.2. den Graphen zeichnen. Zum einen erkennt man es daran, zum anderen "müsstest" du ja das MAximum der Funktion berechnen. Ja, aber du hast ja schon die Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt einer Parabel. Ist die Parabel nach oben geöffnet, so handelt es sich um ein Minimum; ist die Parabel nach unten geöffnet, so handelt es sich um ein Maximum.
=> Siehe dazu deinen Mathematik-Hefter 8./9. Klasse ;)
Zudem hast due die Funktion A=A(b). Also sind alle Punkt von der Funktion (b|A(b)). Erste Zahl also das optimale b und zweite Zahl der optimale Flächeninhalt.
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