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| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung:
[mm] x^2-6x+a=0 [/mm]
in Abhängigkeit von dem Parameter a.
Für welchen Wert [mm] a\in\IR [/mm] hat die Gleichung genau eine Lösung [mm] x\in\IR. [/mm] |
Hallo.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet und es tut mir Leid, falls ich in der falschen Untergliederung gelandet bin.
Die Aufgabe ist weniger Unytpisch, aber sie gilt auch nur als Wiederholung, weswegen ich die Frage hier poste.
Mit Parametern hatten wir herzlich wenig in der Schule zu tun.
Ich habe mir mal den wiki Artikel durchgelesen und verstehe nun Parameter, als eine spezielle Variable, die in einem Fall (einer Funktion bspw.) festgelegt ist, sich jedoch im nächsten Fall verändern kann. Somit ist sie für einen Fall frei wählbar und für diesen Fall fest.
Nun hat man ja eine quadratische Gleichung mit [mm] x^2-6x+a.
[/mm]
Zwei Parameter sind hier festgelegt 1 und (-6).
a ist frei wählbar.
Habe ich die Aufgabe richtig verstanden, dass man a so bestimmen soll, so dass es für x genau eine Lösung gibt?
x hat ja keine Lösung wenn die linke Seite [mm] (x^2-6x+a) \not= [/mm] 0 ist, oder?
Wann hat jedch x denn genau eine Lösung?
Da es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, kann ich ja eine quadratische Ergänzung durchführen:
[mm] x^2-6x+9-9+a=0
[/mm]
[mm] (x-3)^2+a-9=0
[/mm]
[mm] (x-3)^2+a=9
[/mm]
[mm] a=(x-3)^2+9
[/mm]
Dies würde ja heißen, dass für ein beliebiges x gelten muss, dass a [mm] =(x-3)^2+9 [/mm] gilt, sodass man 0 erhält. Sehe ich das richtig?
Wie geht man jetzt aber weiter vor bzw. bin ich über auf dem richtigen Weg?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Hallo.
Hallo!
> Habe ich die Aufgabe richtig verstanden, dass man a so
> bestimmen soll, so dass es für x genau eine Lösung gibt?
richtig
> x hat ja keine Lösung wenn die linke Seite [mm](x^2-6x+a) \not=[/mm]
> 0 ist, oder?
> Wann hat jedch x denn genau eine Lösung?
Das stimmt so nicht. Dir sind ja sicher die Formeln zur Nullstellen Bestimmung bekannt, ich nenn dir mal eine, die ich immer benutze:
[mm] ax^{2}+bx+c=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{-b \pm \wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}
[/mm]
Jetzt benötigst du die Diskriminante: [mm]D:=b^{2}-4ac[/mm] für die gilt:
Ist D>0, so gibt es 2 reelle Lösungen
Ist D=0, so gibt es 1 reelle Lösung
Ist D<0, so gibt es keine reelle Lösung
Den Rest schaffst du sicher alleine, wenn nicht frag ruhig :)
Gruß!
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Hallo und danke vielmals für deine Hilfe.
Also nach deiner Formel komme ich auf folgendes Ergebnis:
3 [mm] \pm \bruch{\wurzel{36-4a}}{2}
[/mm]
Das es in der Aufgabenstellung heißt, dass ich den Parameter [mm] a\in \IR [/mm] so bestimmen soll, dass man genau eine Lösung erhält, muss der Ausdruck unter der Klammer (also die Diskriminante) gleich 0 sein.
a=9
Ist das richtig so?
Jetzt hätte ich ich die Aufgabe aber auch über quadratische Ergänzung lösen können.
[mm] x^2-6x+a=0
[/mm]
[mm] x^2-6x+((3)^2-(3)^2)+a=0
[/mm]
[mm] x^2-6x+9(-9+a)=0 [/mm] Assoziativgesetz
[mm] (x-3)^2=9-a [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] x-3=\pm\wurzel{9-a}
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{9-a}+3
[/mm]
Ist die Lösung so auch richtig?
Und auch noch eine letzte Frage die mir mal eben aufgefallen ist.
Wenn ich einen Begriff wie [mm] (a+b)^2=x [/mm] vor mir stehen habe, so gilt wenn ich die Wurzel für x ziehe , dass [mm] x^2=-\wurzel{x} x^2=\wurzel{x} [/mm] sein kann.
Eigentlich müsste doch dann auch für [mm] (a+b)^2 [/mm] gelten, dass [mm] (a+b)^2=(a+b)*(a+b) [/mm] oder -(a+b)*-(a+b) was dann (-a-b)*(-a-b) wäre. Sehe ich das richtig so? Warum schreibt man diesen Ausdruck dann nicht auch als [mm] \pm [/mm] (a+b)
Ein anderes Beispiel das mich etwas verwirrt: x=9 [mm] \Rightarrow [/mm] x=3*3 [mm] \Rightarrow \wurzel{x}=\wurzel{3}*\wurzel{3}=3 [/mm] oder aber
x=(-3)*(-3) [mm] \wurzel{x}=\wurzel{-3}*\wurzel{-3} [/mm] und die Wurzel aus einer negativen Zahl ist ja nicht definiert. Gilt aber nicht [mm] \wurzel{x}=\pm3, [/mm] was ein Widerspruch wäre? Ich denke mal, dass ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht habe oder aber etwas falsch aufgeschnappt habe, weswegen ich mich über Hilfe sehr freuen würde.
Danke vielmals im Voraus.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke vielmals für deine Hilfe.
>
> Also nach deiner Formel komme ich auf folgendes Ergebnis:
>
> 3 [mm]\pm \bruch{\wurzel{36-4a}}{2}[/mm]
>
> Das es in der Aufgabenstellung heißt, dass ich den
> Parameter [mm]a\in \IR[/mm] so bestimmen soll, dass man genau eine
> Lösung erhält, muss der Ausdruck unter der Klammer (also
> die Diskriminante) gleich 0 sein.
>
> a=9
>
> Ist das richtig so?
Ja
>
> Jetzt hätte ich ich die Aufgabe aber auch über
> quadratische Ergänzung lösen können.
> [mm]x^2-6x+a=0[/mm]
> [mm]x^2-6x+((3)^2-(3)^2)+a=0[/mm]
> [mm]x^2-6x+9(-9+a)=0[/mm] Assoziativgesetz
> [mm](x-3)^2=9-a[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]x-3=\pm\wurzel{9-a}[/mm]
> [mm]x=\pm\wurzel{9-a}+3[/mm]
>
> Ist die Lösung so auch richtig?
Ja
>
> Und auch noch eine letzte Frage die mir mal eben
> aufgefallen ist.
> Wenn ich einen Begriff wie [mm](a+b)^2=x[/mm] vor mir stehen habe,
> so gilt wenn ich die Wurzel für x ziehe , dass
> [mm]x^2=-\wurzel{x} x^2=\wurzel{x}[/mm] sein kann.
> Eigentlich müsste doch dann auch für [mm](a+b)^2[/mm] gelten,
> dass [mm](a+b)^2=(a+b)*(a+b)[/mm] oder -(a+b)*-(a+b) was dann
> (-a-b)*(-a-b) wäre. Sehe ich das richtig so? Warum
> schreibt man diesen Ausdruck dann nicht auch als [mm]\pm[/mm] (a+b)
>
> Ein anderes Beispiel das mich etwas verwirrt: x=9
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=3*3 [mm]\Rightarrow \wurzel{x}=\wurzel{3}*\wurzel{3}=3[/mm]
> oder aber
> x=(-3)*(-3) [mm]\wurzel{x}=\wurzel{-3}*\wurzel{-3}[/mm] und die
> Wurzel aus einer negativen Zahl ist ja nicht definiert.
> Gilt aber nicht [mm]\wurzel{x}=\pm3,[/mm] was ein Widerspruch wäre?
> Ich denke mal, dass ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht
> habe oder aber etwas falsch aufgeschnappt habe, weswegen
> ich mich über Hilfe sehr freuen würde.
>
> Danke vielmals im Voraus.
>
> Lg
>
>
Grundsätzlich :
1. die Wurzel ais einer nichtnegativen Zahl ist nichtnegativ .
2. [mm] \wurzel{a^2}=|a|
[/mm]
FRED
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