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Forum "komplexe Zahlen" - Quadratische Gleichung in C II
Quadratische Gleichung in C II < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratische Gleichung in C II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 So 20.10.2013
Autor: drahmas

Aufgabe
[mm] x^2-4x+7=0 [/mm]

Gleichung lösen, Scheitelpunkt der Parabel bestimmen.

Hallo,

eine zugegeben vielleicht etwas doofe Frage, aber ich weiß nicht, wie ich die obige Gleichung in [mm] \IC [/mm] lösen soll.

Die angestrebten Ergebnisse sind

[mm] x_1,_2=2\pm\wurzel{3i} [/mm]

Normalerweise würde man das ja nur einfach in die abc-Formel einsetzen zB und eine Lösung erhalten oder eben feststellen dass die Gleichung in [mm] \IR [/mm] nicht lösbar ist. Wie gehe ich da aber in den komplexen Zahlen damit um?

Was soweit klar ist, dass die Parabel nach oben offen ist und die x-Achse nicht schneidet. [keineahnung]

Besten Dank

        
Bezug
Quadratische Gleichung in C II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 20.10.2013
Autor: M.Rex

Hallo

Du rechnest erstmal ganz normal mit de ABC-Formel

Aus [mm] x^{2}-4x+7=0 [/mm] folgt, dass a=1, b=-4 und c=7.

Also ergibt sich:

[mm] x_{1;2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot7}}{2\cdot1} [/mm]
[mm] =\frac{4\pm\sqrt{-12}}{2} [/mm]
[mm] =\frac{4\pm\sqrt{4\cdot(-3)}}{2} [/mm]
[mm] =\frac{4\pm2\sqrt{(-3)}}{2} [/mm]
[mm] =2\pm\sqrt{-3} [/mm]

Nun bedenke, dass [mm] i^{2}=-1, [/mm] also wird
[mm] 2\pm\sqrt{-3} [/mm]
[mm] =2\pm\sqrt{(-1)\cdot3} [/mm]
[mm] =2\pm\sqrt{i^{2}\cdot3} [/mm]
[mm] =2\pm i\cdot\sqrt{3} [/mm]

Für die Scheitelpunktform gehe wie üblich über die quadratische Ergänzung

[mm] $f(x)=x^{2}-4x+7$ [/mm]
[mm] $=x^{2}-2\cdot2\cdot [/mm] x+7$
[mm] $=x^{2}-2\cdot2\cdot x+2^{2}-2^{2}+7$ [/mm]
[mm] $=(x-2)^{2}-2^{2}+7$ [/mm]
[mm] $=(x-2)^{2}+3$ [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Quadratische Gleichung in C II: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 So 20.10.2013
Autor: drahmas

Alles klar, danke!

[lichtaufgegangen]

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