Quadratische Gleichungen, 9. J < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>
Bestimmen Sie a so, dass eine Lösung entsteht für
f(x)= [mm] ax^2 [/mm] + 14x + 196a |
<br>Ich sehe, dass diese Fragestellung hier bereits diskutiert wird, doch diese Funktion hat es in sich. Mit der Mathematiksoftware "mathematik interaktiv SII" ist es möglich, den Graphen für diese Funktion darzustellen sowie mit Hilfe eines dynamischen Tools den Graphen so zu verändern, dass die Funktion nur eine Lösung hat. Die Lösung lautet: a=0,5
Leider gelingt es mir nicht, diese Lösung rechnerisch zu bestätigen.
Mein Lösungsversuch:
(1) [mm] ax^2+14x+196a [/mm] = 0
(2) a ausklammern [mm] a(x^2 [/mm] +14x/a +196)
(3) quadr. Ergänzung [mm] a[x^2+14x/a+(14/2a)^2-(14/2a)^2+196]
[/mm]
(4) [mm] a[(x+7/a)^2-196/4a^2+196]
[/mm]
(5) durch a dividieren [mm] (x+7/a)^2-196/4a^2+196
[/mm]
(6) [mm] (+196/4a^2-196) (x+7/a)^2 [/mm] = [mm] 196/4a^2-196
[/mm]
(7) radizieren x+7/a = [mm] (196/4a^2-196)^0,5
[/mm]
(8) Wenn eine(!) Lösung, dann muss die Diskriminante gleich Null sein
(9) [mm] 196/4a^2 [/mm] -196 = 0
(10 +196 [mm] 196/4a^2 [/mm] = 196
(11) mal [mm] 4a^2 [/mm] 196 = [mm] 196*4a^2
[/mm]
(12) : 196 1 = [mm] 4a^2
[/mm]
(13) :4 1/4 = [mm] a^2
[/mm]
(14) radizieren [mm] (1/4)^0,5 [/mm] = a
(15) Ergebnis a = +- (1/2)
(16) Interpretation: Ich erhalte 2 (zwei!) Lösungen, das widerspricht aber der graphischen Lösung
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen
wolfgangmax
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Guten Tag !
Na, es ist eben so: Sowohl für den Wert [mm] $a_1\ [/mm] =\ 0.5$ als auch
für den Wert [mm] $a_2\ [/mm] =\ -0.5$ hat die jeweils resultierende
Funktion [mm] (f_1 [/mm] bzw. [mm] f_2) [/mm] genau eine Nullstelle. Graphisch:
jede der beiden entsprechenden Parabeln berührt die x-Achse
in je einem Punkt.
Da steckt kein Widerspruch drin, falls du das gemeint haben
solltest ...
LG , Al-Chw.
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> Mit der Mathematiksoftware "mathematik interaktiv SII" ist
> es möglich, den Graphen für diese Funktion darzustellen
> sowie mit Hilfe eines dynamischen Tools den Graphen so zu
> verändern, dass die Funktion nur eine Lösung hat. Die
> Lösung lautet: a=0,5
Dann zieh doch den Schieber für das a auch mal noch zum
Wert -0.5 !
(das sollte doch wohl auch möglich sein ...)
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<br>Danke, alles ist ok! Wenn ich den Schieber nach a=-0,5 bewege, zeigt sich die 2. Lösung.
Zusatzfrage: ist der rechnerische Lösungsweg fehlerfrei (vielleicht eine doofe Frage, sorry, wäre mir aber wichtig).
Nochmals herzlichen Dank
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> Danke, alles ist ok! Wenn ich den Schieber nach a=-0,5
> bewege, zeigt sich die 2. Lösung.
> Zusatzfrage: ist der rechnerische Lösungsweg fehlerfrei
Ja, aber es ginge auch deutlich einfacher, denn du
machst bei deiner Lösung einen eigenartigen Umweg.
Man kann direkt bei der gegebenen Gleichung
$ [mm] ax^2+14x+196 [/mm] a \ =\ 0$
die Diskriminante berechnen, gleich 0 setzen und aus
der entstandenen Gleichung die möglichen Werte für a
ermitteln.
LG , Al-Chwarizmi
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> ..... [mm](196/4a^2-196)^0,5[/mm]
> ..... [mm](1/4)^0,5 [/mm] = .....
Nur noch ein kleiner Tipp:
Damit in solchen Ausdrücken der Exponent richtig, also
komplett hochgestellt erscheint, musst du die Exponenten
bei der Eingabe in geschweifte Klammern einpacken, also so:
..... [mm](196/4a^2-196)^{0,5}[/mm]
..... [mm](1/4)^{0,5} [/mm] = .....
Ferner wären im ersten Beispiel noch zusätzliche Klammern
nötig gewesen, nämlich:
..... [mm](196/\red{(4a^2)}-196)^{0,5}[/mm]
LG und schönen Nachmittag noch !
Al-Chw.
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