Quadratische Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo DrRiese,
die Grundidee ist gut, aber sie geht noch nicht ganz auf.
> Sei n>2 eine ungerade natürliche Zahl und p eine ungerade
> Primzahl.
>
> a) Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen x der Kongruenz
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod [mm]p^{S}[/mm]
> für s [mm]\in \IN[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen von
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod n
>
> c) Bestimmen Sie alle n, für welche die Kongruenz [mm]x^{2} \equiv[/mm]
> 1 mod n genau zwei Lösungen hat
> Hallo liebe Forenmitglieder 
>
> Habe zu dieser Aufgabe einen Ansatz, bin mir aber unsicher,
> ob dies nicht falsch gedacht ist...
>
> a)
>
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod [mm]p^{S}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}-1 \equiv[/mm] 0 mod [mm]p^{S}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (x+1)(x-1) [mm]\equiv[/mm] 0 mod [mm]p^{S}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x+1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod [mm]p^{S}[/mm] oder x-1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod [mm]p^{S}[/mm]
> Also zwei Lösungen, nämlich x = [mm]\pm[/mm] 1
Das ist zwar richtig, aber es nicht erkenntlich, wieso das nicht ganz allgemein (also wie auch in b) gelten sollte. Was ist die Besonderheit einer Primzahlpotenz?
> b)
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod n
> [mm]\gdw x^{2}-1 \equiv[/mm] 0 mod n
> [mm]\gdw[/mm] (x-1)(x+1) [mm]\equiv[/mm] 0 mod n
> [mm]\gdw[/mm] x-1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod n oder x+1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod n
> Also zwei Lösungen, nämlich x = [mm]\pm[/mm] 1
>
> Das wird wohl nicht ganz richtig sein, da ich keine der
> Voraussetzungen hier anwenden konnte....
Gegenbeispiele: [mm] 4^2\equiv 1\mod{15}, 34^2\equiv 1\mod{231}
[/mm]
> Würde mich über Tipps freuen
Da reicht einer für beide Teilaufgaben: chinesischer Restsatz.
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:34 So 10.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi, danke für deine Antwort
zu a)
Hm, so richtig weiss ich nicht, wie das mit dem chinesischen Restsatz gemacht werden soll..
Also wir haben die beiden Kongruenzgleichungen x+1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] p^{S} [/mm] oder x-1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod [mm] p^{S}
[/mm]
Also könnte man das jetzt folgendermaßen schreiben:
[mm] \begin{cases}x \equiv -1 \mbox{mod } p^{S}\\ x \equiv 1 \mbox{mod } p^{S} \end{cases}
[/mm]
So, dann [mm] p^{S}*p^{S}=p^{2S} [/mm] und nun Paare bilden [mm] (1,\bruch{p^{2S}}{p^{S}}),(-1, \bruch{p^{2S}}{p^{S}}) [/mm] = [mm] (1,p^{S}), (-1,p^{S}). [/mm]
[mm] ggT(1,p^{S})=1=(p^{2}+1)*1+(-1)*p^{S}
[/mm]
[mm] ggT(-1,p^{S})=1=-(p^{2}+1)*(-1)+(-1)*p^{S}
[/mm]
Lösung: [mm] 1*(-p^{S})+(-1)*(-p^{S})=0
[/mm]
Hm... ^^
LG,
DrRiese
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Di 12.11.2013 | | Autor: | switchback |
der chinese restsatz würde doch nur gehen wenn [mm] p^s [/mm] und [mm] p^s [/mm] teilferfremd wären, was wohl nicht der fall ist :p
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 12.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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