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Quadratische Kongruenzen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Mi 19.07.2017
Autor: fussball99

Aufgabe
Prüfe, ob [mm] x^2 \equiv [/mm] 19 (mod 45) lösbar ist und wenn ja, dann gib alle Lösungen an.

Hallo,
die Kongruenz ist äquivalent zu

[mm] x^2 \equiv [/mm] 4 (mod 5)
[mm] x^2 \equiv [/mm] 1 (mod 9)

Ich möchte zunächst die Lösbarkeit untersuchen. Dafür verwende ich das LEGENDRE-Symbol mit [mm] \vektor{4/5} [/mm] = 1, also ist die Kongruenz lösbar.

Für die zweite Kongruenz kann ich das LEGENDRE-Symbol nicht verwenden, da es nur für Primzahlen-Nenner definiert ist, aber mein Modulo 9 ist.

Meine Fragen sind nun:
1) Wie kann ich die zweite Kongruenz auf Lösbarkeit untersuchen? Man sieht zwar, dass sie lösbar ist, da beispielsweise x=8 eine Lösung wäre, aber ich muss es ja irgendwie zeigen können, dass sie lösbar ist wie bei der ersten Kongruenz über das LEGENDRE-Symbol.

2) Wie kann ich die einzelnen Kongruenzen lösen und die zu Lösungen zu der Lösung der Ausgangskongruenz zusammenführen?
Ich denke mal, dass es mit dem chinesischen Restsatz geht, aber ich wüsste nicht wie.

Für eine Hilfestellung wäre ich dankbar. Gruß!


        
Bezug
Quadratische Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Mi 19.07.2017
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

du kommst doch wohl hoffentlich nicht wirklich auf die Idee, wenn du gefragt wirst, ob [mm] $x^2=4\mod [/mm] 5$ oder [mm] $x^2=1\mod [/mm] 9$ eine Lösung hat, an das Legendre-Symbol zu denken, oder?!

Dennoch sind die Fragen natürlich im Allgemeinen relevant, deshalb beantworte ich sie.

1) Um die Lösbarkeit einer Polynomgleichung $f(X)=0$ modulo einer Primzahlpotenz zu lösen, gibt es die Technik des []Henselliftings. Zunächst bestimmt man eine Lösung $x$ [mm] $\mod [/mm] p$. Ist [mm] $f'(x)\not=0\mod [/mm] p$, so garantiert das Hensellifting eine Lösung modulo allen höheren $p$-Potenzen und gibt eine Methode zur Berechnung. (Es gibt auch Anpassungen für den Fall, dass die Ableitung verschwindet. Insbesondere für Polynome der Form [mm] $X^2-a$ [/mm] und [mm] $p\not=2$ [/mm] tritt dieser aber sowieso nicht auf.)

2) Der chinesische Restsatz besagt, dass für $m$, $n$ teilerfremd der Ringhomomorphismus [mm] $\IZ/mn\longrightarrow\IZ/m\times\IZ/n$ [/mm] surjektiv (und injektiv) ist. Mit ein bisschen Glück wurde im Beweis konstruktiv gezeigt, wie man das Urbild eines Elements auf der rechten Seite bestimmt. Beachte, dass jedes Element dort eine [mm] $\IZ$-Linearkombination [/mm] für der Elemente $(1,0)$ und $(0,1)$ ist, es genügt also Urbilder für diese zu finden. Ein Urbild von $(1,0)$ ist eine Zahl $a$ mit [mm] $a=1\mod [/mm] m$ und [mm] $a=0\mod [/mm] n$. Ist $um+nv=1$ eine Bezout-Darstellung für $m$ und $n$, so erfüllt also $a=nv$ das Gewünschte.

Probiere es doch hier direkt einmal aus.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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