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Quadratische Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 So 30.05.2010
Autor: jaruleking

Hi, ich habe eine Frage zu folgenden Satz:

Die Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ besitze in $ [mm] x^{\cdot{}} \in \IR [/mm] $ eine Nullstelle, es sei also $ [mm] f(x^{\cdot{}})=0. [/mm] $ Es gelte:

1. Die Funktion f ist auf einem Intervall $ [mm] U^{\cdot{}}, [/mm] $ welches $ [mm] x^{\cdot{}} [/mm] $ im Inneren enthält, stetig differenzierbar und f' dort lipschitzstetig ist.

2. Es ist $ [mm] f'(x^{\cdot{}})\not=0, [/mm] $ d.h. $ [mm] x^{\cdot{}} [/mm] $ ist eine einfache Nullstelle von f.

... dann gilt die Newton-Vorschrift $ [mm] x_{k+1}:=x_k [/mm] $ - $ [mm] \bruch{f(x_k)}{f'(x_k)} [/mm] $

Die Folge $ [mm] \{x_k\} [/mm] $ konvergiert dann quadratisch gegen $ [mm] x^{\cdot{}} [/mm] $


Mein Frage, was meinen die genau mit quadratische Konvergenz? Das versteh ich nicht so. Kann mir das vielleicht jemand erklären?

Grüße

        
Bezug
Quadratische Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mo 31.05.2010
Autor: fred97


> Hi, ich habe eine Frage zu folgenden Satz:
>  
> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] besitze in [mm]x^{\cdot{}} \in \IR[/mm]
> eine Nullstelle, es sei also [mm]f(x^{\cdot{}})=0.[/mm] Es gelte:
>  
> 1. Die Funktion f ist auf einem Intervall [mm]U^{\cdot{}},[/mm]
> welches [mm]x^{\cdot{}}[/mm] im Inneren enthält, stetig
> differenzierbar und f' dort lipschitzstetig ist.
>  
> 2. Es ist [mm]f'(x^{\cdot{}})\not=0,[/mm] d.h. [mm]x^{\cdot{}}[/mm] ist eine
> einfache Nullstelle von f.
>  
> ... dann gilt die Newton-Vorschrift [mm]x_{k+1}:=x_k[/mm] -
> [mm]\bruch{f(x_k)}{f'(x_k)}[/mm]
>  
> Die Folge [mm]\{x_k\}[/mm] konvergiert dann quadratisch gegen
> [mm]x^{\cdot{}}[/mm]
>  
>
> Mein Frage, was meinen die genau mit quadratische
> Konvergenz? Das versteh ich nicht so. Kann mir das
> vielleicht jemand erklären?

Schau mal da rein:

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzgeschwindigkeit

FRED

>  
> Grüße


Bezug
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