Quadratische Reste mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p ungerade Primzahl [mm] R=\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1}^{p-1} [/mm] r und [mm] N=\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=-1}^{p-1} [/mm] r.
Zeige R [mm] \equiv [/mm] N [mm] \equiv [/mm] 0 mod p |
Hallöchen,
ich gehe alte Übungsaufgaben durch und bekomme aber hier nur die Hälfte der Aufgabe hin. ich habe mir bis jetzt folgendes Überlegt:
[mm] R+N=\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1 oder (\frac{r}{p})=-1}^{p-1}r= \summe_{r=1}^{p-1} [/mm] r= [mm] \frac{(p-1)((p-1)+1)}{2} [/mm] = p [mm] \frac{p-1}{2} \equiv [/mm] 0 mod p
Nun wollte ich eine Fallunterscheidung durchführen.
1. p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4
Wegen der Verteilung der Quadratreste gilt [mm] (\frac{r}{p})=(\frac{p-r}{p}).
[/mm]
Somit gilt für R:
[mm] R=\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1}^{\frac{p-1}{2}} [/mm] r [mm] +\summe_{r=\frac{p-1}{2}, (\frac{r}{p})=1}^{p-1} [/mm] r [mm] =\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1}^{\frac{p-1}{2}} r+\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1}^{\frac{p-1}{2}} p-r=\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1}^{\frac{p-1}{2}} p=p\summe_{r=1, (\frac{r}{p})=1}^{\frac{p-1}{2}} [/mm] 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod p.
Mit [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] \overline{N}= \overline{0} [/mm] folgt [mm] \overline{n}=\overline{0} [/mm] und somit das gewünschte.
2. p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4
Mein Problem ist nun, dass ich mir nicht ganz sicher bin wie ich argumentieren soll. Kann ich hier genauso argumentieren bloß mit [mm] (\frac{r}{p})=-1 [/mm] in der Summe aber das scheint mir recht simpel. Wobei ich auch nicht wüsste warum die Argumentation dann nicht klappen sollte. Kann mir jemand helfen?
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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