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Forum "Zahlentheorie" - Quadratischezahlkörper
Quadratischezahlkörper < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratischezahlkörper: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Mi 03.06.2015
Autor: Laubfee

Aufgabe
Sei d ∈ Z kein Quadrat. Zeigen Sie, dass sich jedes Element z ∈ Z[(Wurzel [mm] d)]\{0}, [/mm] das keine Einheit ist, in Z[(Wurzel d)] als Produkt von unzerlegbaren Elementen schreiben lässt.
(Hinweis: Als Beweismethode bietet sich eine Induktion über |N(z)| an.)

Wir wissen:
-Z Einheit in Z[ d] ist  -> N(z)= +1,-1 Einheit
folglich beginnen wir bei N(z)=2, da zwei Primzahl.
-ist N(z) Primzahl -> z ist unzerlegbar

Uns fehlt nun der Induktionsschritt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Quadratischezahlkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mi 03.06.2015
Autor: hippias

[willkommenvh]

> Sei d ∈ Z kein Quadrat. Zeigen Sie, dass sich jedes
> Element z ∈ Z[(Wurzel [mm]d)]\{0},[/mm] das keine Einheit ist, in
> Z[(Wurzel d)] als Produkt von unzerlegbaren Elementen
> schreiben lässt.
> (Hinweis: Als Beweismethode bietet sich eine Induktion
> über |N(z)| an.)
>  Wir wissen:
>  -Z Einheit in Z[ d] ist  -> N(z)= +1,-1 Einheit

> folglich beginnen wir bei N(z)=2, da zwei Primzahl.
>  -ist N(z) Primzahl -> z ist unzerlegbar

Ja.

>  
> Uns fehlt nun der Induktionsschritt?

Vermutlich lautet die Antwort "Ja". Ist Deine Frage damit beantwortet?

Sonst versuche den Induktionsschritt, indem Du eine Fallunterscheidung machst, ob $z$ selbst unzerlegbar ist oder nicht.

>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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