Quadratur Formel exakt < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Sa 14.06.2014 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | Hallo,
ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen. Aber irgendwie hänge ich fest.
Satz: Eine Quadraturformel [mm] \integral_{-1}^{1}{g(t) dt} [/mm] --> [mm] \summe_{k=0}^{m}a_k g(t_k) [/mm] kann höchstens für alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2m+1 exakt sein. |
Leider hänge ich hier beim Beweis. Ich weiß, dass man sich ein Polynom vom Grad 2m+2 nimmt z.B. [mm] \produkt_{i=0}^{m}(t-t_1)^2 [/mm] und dann zeigt, dass [mm] \integral_{-1}^{1}{p(t) dt} [/mm] > 0 und
[mm] \summe_{k=0}^{m}a_k p(t_k) [/mm] = 0 ist. Aber dass die Summe gleich null ist, versteh ich leider nicht. Ich weiß, dass die [mm] t_k [/mm] die Nullstellen des Legendre-Polynoms vom Grad n+1 sind.
Kann mir jemand helfen, und erklären, wie man darauf kommt, dass die Summe gleich 0 ist?
Vielen Dank Wilmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen. Aber
> irgendwie hänge ich fest.
> Satz: Eine Quadraturformel [mm]\integral_{-1}^{1}{g(t) dt}[/mm] -->
> [mm]\summe_{k=0}^{m}a_k g(t_k)[/mm] kann höchstens für alle
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2m+1 exakt sein.
> Leider hänge ich hier beim Beweis. Ich weiß, dass man
> sich ein Polynom vom Grad 2m+2 nimmt z.B.
> [mm]\produkt_{i=0}^{m}(t-t_1)^2[/mm]
Hier muss es wohl [mm] $\produkt_{i=0}^{m}(t-t_i)^2$ [/mm] heissen.
> und dann zeigt, dass
> [mm]\integral_{-1}^{1}{p(t) dt}[/mm] > 0 und
> [mm]\summe_{k=0}^{m}a_k p(t_k)[/mm] = 0 ist. Aber dass die Summe
> gleich null ist, versteh ich leider nicht. Ich weiß, dass
> die [mm]t_k[/mm] die Nullstellen des Legendre-Polynoms vom Grad n+1
> sind.
>
> Kann mir jemand helfen, und erklären, wie man darauf
> kommt, dass die Summe gleich 0 ist?
Du hast ja $p= [mm] \produkt_{i=0}^{m}(t-t_i)^2$ [/mm] gewaehlt, d.h. $p= [mm] (t-t_{0})^{2}(t-t_{1})^{2}\ldots (t-t_{m})^{2}$. [/mm] Siehst du jetzt besser, dass z.B. [mm] $p(t_{0})=0$ [/mm] ergibt?
>
> Vielen Dank Wilmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Sa 14.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hier stand nicht viel richtiges.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 14.06.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo, vielen Dank für die schnellen Antworten. Wenn ich allerdings ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 2m+1 habe, solll die Quadraturformel ja exakt sein. Aber mit eurer Argumentation müsste die Summe in diesem Fall ja auch =0 sein, oder?
Es muss also irgendwie an der Graderhöhung scheitern...nur leuchtet mir das nicht so ganz ein.
LG Wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hippias |
Ich verstehe das Problem so: Ganz egal wie man bei festem $m$ die Koeffizienten [mm] $a_{k}$ [/mm] und die Stuetzstellen [mm] $t_{k}$ [/mm] waehlt, es gibt stets ein Polynom $p$ vom Grad $2m$ fuer das [mm] $\int_{-1}^{1}pdx\neq \sum_{k=1}^{m} a_{k}p(t_{k})$ [/mm] gilt.
Das hast du nachgewiesen. Das heisst aber keineswegs, dass fuer alle Polynome vom kleineren Grad Gleichheit gilt. Fuer welche Grade Gleichheit gilt, haengt natuerlich auch stark von der Wahl der [mm] $a_{k}$ [/mm] und den Stuetzstellen ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 So 15.06.2014 | | Autor: | wilmi |
Danke für die Antwort, werdde mich damit noch mal befassen.
LG Wilmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 So 15.06.2014 | | Autor: | wilmi |
Das sollte keine neue Frage sein, sondern eine Mitteilung. Leider weiß ich nicht, wie ich den Status ändern kann
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