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| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] $\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}$ [/mm] |
Hallo Mathefreunde,
ich habe mir mir mal aus Spaß an der Freud 3000 Jahre Analysis von Thomas Sonar geschnappt und lese es mit großem Interesse.
Nun bin bei dieser Aufgabe angeleangt und frage mich, wo mein Fehler ist.
Hier meine Rechnung:
[mm] $\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$
[/mm]
Danke schon mal im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo meister_quitte,
nicht ganz. 
> Beweisen Sie:
>
> [mm]\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}[/mm]
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich habe mir mir mal aus Spaß an der Freud 3000 Jahre
> Analysis von Thomas Sonar geschnappt und lese es mit
> großem Interesse.
>
> Nun bin bei dieser Aufgabe angeleangt und frage mich, wo
> mein Fehler ist.
>
> Hier meine Rechnung:
>
> [mm]\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}[/mm]
Es ist ein bisschen blöd notiert (wahrscheinlich schon in der Vorlage), aber das erste Gleichheitszeichen stimmt nicht.
Im ersten Term steht (n+1)-mal der Summand [mm] n^2.
[/mm]
Dann ist der Rest der Rechnung leider auch hinfällig.
Grüße
reverend
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Danke Reverend,
habe ich total übersehen. Nun müsste es ja klappen.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo reverend,
ich widme mich dieser Aufgabe immer noch, komme aber nicht auf das gewünschte Ergebnis. Dabei habe ich deinen Einwand mit den n+1 Summanden berücksichtigt.
Nun sieht meine Rechnung wiefolgt aus:
[mm] $\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}{6n^2}=\frac{2n^2+7n+6}{6n^2}=\frac{1}{3}+\frac{7}{6n}+\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Kannst du mir sagen, was ich hier falsch mache?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Fr 16.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> Nun sieht meine Rechnung wiefolgt aus:
>
> [mm]\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}{6n^2}=\frac{2n^2+7n+6}{6n^2}=\frac{1}{3}+\frac{7}{6n}+\frac{1}{n^2}[/mm]
>
> Kannst du mir sagen, was ich hier falsch mache?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
[mm] (n+1)(n+2)(2n+3)\ne2n^{2}+7n+6
[/mm]
Es gilt:
[mm] (n+1)(n+2)(2n+3)=(n^{2}+3n+2)(2n+3)=2n^{3}+6n^{2}+4n+3n^{2}+9n+18=2n^{3}+9n^{2}+13n+18
[/mm]
Außerdem:
[mm] \frac{\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}{6n^2}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{(n^{2}+3n+6)(2n+3)}{6}\right):(6n^{2})
[/mm]
[mm] =\frac{2n^{3}+3n^{2}+6n^{2}+9n+12n+18}{6}\cdot\frac{1}{6n^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{2n^{3}+9n^{2}+21n+18}{36n^{2}}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Fr 16.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal, Maître le Coing,
so ganz nebenbei: wieso stehen da eigentlich im Nenner [mm] $6n^2$? [/mm] Da müsste es doch allgemein [mm] (n+1)n^2 [/mm] heißen, und dann kann man erstmal kürzen. Die ewige Ausmultipliziererei macht nur alles unverständlicher.
Grüße
reverend
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Hallo reverend und Marius,
ich habe meine Lösung veresehentlich Falsch abgetippt. Richtig muss es natürlich heißen:
[mm] $\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}{n^2(n+1)}=\frac{(n+2)(2n+3)}{6n^2}=\frac{2n^2+7n+6}{6n^2}$
[/mm]
Nun müsste es stimmen.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo nochmal,
das ist schon besser, aber doch immer noch nicht richtig.
> ich habe meine Lösung veresehentlich Falsch abgetippt.
> Richtig muss es natürlich heißen:
>
> [mm]\frac{0^2+1^2+...+n^2}{n^2+n^2+...+n^2}=\frac{\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}{n^2(n+1)}=\frac{(n+2)(2n+3)}{6n^2}=\frac{2n^2+7n+6}{6n^2}[/mm]
>
> Nun müsste es stimmen.
Deine Anwendung der Summenformel stimmt nicht!
[mm] \bruch{0^2+1^2+\cdots+n^2}{n^2+n^2+\cdots+n^2}=\bruch{\bruch{\blue{n(n+1)(2n+1)}}{6}}{n^2(n+1)}=\cdots
[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
die Rechnung stimmt nun. Wird wegen der 0 das n+1-nte Glied nicht berücksichtigt oder warum wird n+1 nicht in die Summenformel im Zähler eingesetzt?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Fr 16.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo reverend,
>
> die Rechnung stimmt nun. Wird wegen der 0 das n+1-nte Glied
> nicht berücksichtigt oder warum wird n+1 nicht in die
> Summenformel im Zähler eingesetzt?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Es gilt:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n}i^{2}=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}[/mm]
Da du aber vorne noch die Null hast, sind im Nenner n+1 Summanden.
Also hast du
[mm]\frac{0^{2}+1^{2}+\ldots+n^{2}}{\underbrace{n^{2}+n^{2}+\ldots+n^{2}}_{n+1-mal}}[/mm]
[mm]=\frac{\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}}{(n+1)\cdot n^{2}}[/mm]
[mm]=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6\cdot(n+1)\cdot n^{2}}[/mm]
[mm]=\frac{n\cdot(2n+1)}{6n^{2}}[/mm]
Der Rest dürfte jetzt nur noch Formsache sein.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Fr 16.11.2012 | | Autor: | reverend |
Noch ein Hinweis dazu:
> Es gilt:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}i^{2}=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}[/mm]
Außerdem gilt [mm] \summe_{k=1}^{n}i^2=0^2+\summe_{k=1}^{n}i^2=\summe_{k=\blue{0}}^{n}i^2
[/mm]
> ...
> [mm]=\frac{n\cdot(2n+1)}{6n^{2}}[/mm]
>
> Der Rest dürfte jetzt nur noch Formsache sein.
Man könnte z.B. erstmal fertig kürzen.
Grüße
reverend
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Ja danke hab's gechekt. Rechnung stimmt auch.
Schönen Abend euch.
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Danke für eure Tipps. Ich werde mich da nochmal ranwagen.
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