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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | a) gegeben sei die QF
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\approx(b-a)\summe_{i=1}^{3}b_{i}f(a+c_{i}(b-a))
[/mm]
mit [mm] b_2 [/mm] =3/4, [mm] c_1 [/mm] =0 und [mm] c_3=1. [/mm] Bestimmen Sie die übrigen Parameter, um eine QF maximaler Ordnung zu erhalten.
b) Gesucht ist eine symmetrische QF der Form
[mm] b_{1}f(0)+b_{2}f(c_2)+b_{3}f(c_3)+b_4f(1) \approx \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
bestimme die Parameter [mm] c_2,c_3 \in [/mm] (0,1) un die Gewichte [mm] b_i [/mm] so, dass die Ordnung der QF möglischst groß ist. |
hallo,
mein Ansatz zu a)
ich habe folgende formel verwendet:
[mm] \summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^{q_1}=\bruch{1}{q} [/mm] für q=1,...,p
dann habe ich
q=1: [mm] \summe_{i=1}^{3}b_1 \cdot c_i^{1-1}=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow b_1c_1^0 [/mm] + [mm] b_2c_2^0 [/mm] + [mm] b_3c_3^0=1 [/mm]
durch einsetzten gegebener Gewichte und Knoten erhalte dann:
[mm] \Rightarrow b_1+\bruch{3}{4}+b_3=1 [/mm] I.
das habe ich bis für q=3 gemacht man erhält dann für
q=2 folgende Gleichung: [mm] \bruch{3}{4}c_2+b_3=\bruch{1}{2} [/mm] II.
q=3: [mm] \bruch{3}{4}c_2^2+b_3=\bruch{1}{3} [/mm] III.
mit LGS habe ich dann II. und I. berechnet
II. [mm] \bruch{3}{4}c_2+b_3=\bruch{1}{2}
[/mm]
III. [mm] \bruch{3}{4}c_2^2+b_3=\bruch{1}{3}
[/mm]
ich habe dann die 1.(II.) mit (-1) multipliziert und dann mit der 2.(III.) addiert. erhalte dann [mm] \bruch{3}{4}c_2^2+\bruch{3}{4}c_2=\bruch{-1}{6} \rightarrow \bruch{3}{4}c_2^2-\bruch{3}{4}c_2+\bruch{1}{6}=0
[/mm]
[mm] \rightarrow c_2^2 -c_2 +\bruch{2}{9}
[/mm]
mit Mitternachtsformel: [mm] c_2_1= \bruch{8}{3} [/mm] und [mm] c_2_2=\bruch{4}{3}
[/mm]
kann es sein was ich da herausbekommen habe? vor allem da ich zwei werte für [mm] c_2 [/mm] erhalten habe? Ich habe beide werte ausprobiert in dem ich in die Gleichung eingesetzt habe aber es hat jedesfall nicht mit der gleichung auf der rechten seite übreinstimmt, d.h es nach meiner rechnung den grad null hat.
kann mir da jemand weiterhelfen?
zu b) laut skript heißt symmetrische QF wenn gilt [mm] c_i=1-c_{s+1-i} [/mm] und [mm] b_i=b_{s+1-i}
[/mm]
das würde heißen wenn s=4 dann gilt
[mm] b_1=b_4 [/mm] und [mm] b_2=b_3 [/mm] und [mm] c_3=1-c_2
[/mm]
und wissen die Ordnung symmetrische QF muss gerade sein.
dann habe ich wie in teil a) die formel verwendet und erstmal für die ersten 3 q's berechnet und wir wissen [mm] c_1=0 [/mm] und [mm] c_4=1.
[/mm]
man erhält dann:
q=1: [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2+ b_3+b_4=1 [/mm] I.
q=2: [mm] b_2c_2+b_3c_3+b_4=\bruch{1}{2} [/mm] II.
q=3: [mm] b_2c_2^2+b_3c_3^2+b_4=\bruch{1}{3} [/mm] III.
dann habe ich [mm] b_1=b_4 [/mm] und [mm] b_3=b_2 [/mm] eingesetzt in I. und habe dann [mm] c_3=1-c_2 [/mm] in den anderen Gleichungen eingesetzt
I. [mm] 2b_2 [/mm] + [mm] 2b_4=1
[/mm]
II. [mm] b_2+ b_4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
III. [mm] 2b_2c_2^2 [/mm] + [mm] b_2-2b_2c_2 +b_4=\bruch{1}{3}
[/mm]
irgendwie scheint es mir falsch zu sein was ich da gemacht habe. könnt ihr mir weiterhelfen?
ich habe auch versucht indem ich für q=2m wobei m [mm] \in \IN [/mm] aber irgendwie kam ich auch nciht weiter.
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
gruß,
mimo1
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Hallo mimo1,
> a) gegeben sei die QF
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}\approx(b-a)\summe_{i=1}^{3}b_{i}f(a+c_{i}(b-a))[/mm]
>
> mit [mm]b_2[/mm] =3/4, [mm]c_1[/mm] =0 und [mm]c_3=1.[/mm] Bestimmen Sie die übrigen
> Parameter, um eine QF maximaler Ordnung zu erhalten.
>
> b) Gesucht ist eine symmetrische QF der Form
> [mm]b_{1}f(0)+b_{2}f(c_2)+b_{3}f(c_3)+b_4f(1) \approx \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> bestimme die Parameter [mm]c_2,c_3 \in[/mm] (0,1) un die Gewichte
> [mm]b_i[/mm] so, dass die Ordnung der QF möglischst groß ist.
> hallo,
>
> mein Ansatz zu a)
> ich habe folgende formel verwendet:
> [mm]\summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^{q_1}=\bruch{1}{q}[/mm] für
> q=1,...,p
>
> dann habe ich
> q=1: [mm]\summe_{i=1}^{3}b_1 \cdot c_i^{1-1}=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_1c_1^0[/mm] + [mm]b_2c_2^0[/mm] + [mm]b_3c_3^0=1[/mm]
> durch einsetzten gegebener Gewichte und Knoten erhalte
> dann:
> [mm]\Rightarrow b_1+\bruch{3}{4}+b_3=1[/mm] I.
>
> das habe ich bis für q=3 gemacht man erhält dann für
>
> q=2 folgende Gleichung: [mm]\bruch{3}{4}c_2+b_3=\bruch{1}{2}[/mm]
> II.
> q=3: [mm]\bruch{3}{4}c_2^2+b_3=\bruch{1}{3}[/mm]
> III.
>
> mit LGS habe ich dann II. und I. berechnet
>
> II. [mm]\bruch{3}{4}c_2+b_3=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> III. [mm]\bruch{3}{4}c_2^2+b_3=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> ich habe dann die 1.(II.) mit (-1) multipliziert und dann
> mit der 2.(III.) addiert. erhalte dann
> [mm]\bruch{3}{4}c_2^2+\bruch{3}{4}c_2=\bruch{-1}{6} \rightarrow \bruch{3}{4}c_2^2-\bruch{3}{4}c_2+\bruch{1}{6}=0[/mm]
>
> [mm]\rightarrow c_2^2 -c_2 +\bruch{2}{9}[/mm]
>
> mit Mitternachtsformel: [mm]c_2_1= \bruch{8}{3}[/mm] und
> [mm]c_2_2=\bruch{4}{3}[/mm]
>
Die Gleichung stimmt, die Lösungen aber nicht.
> kann es sein was ich da herausbekommen habe? vor allem da
> ich zwei werte für [mm]c_2[/mm] erhalten habe? Ich habe beide werte
> ausprobiert in dem ich in die Gleichung eingesetzt habe
> aber es hat jedesfall nicht mit der gleichung auf der
> rechten seite übreinstimmt, d.h es nach meiner rechnung
> den grad null hat.
>
> kann mir da jemand weiterhelfen?
>
> zu b) laut skript heißt symmetrische QF wenn gilt
> [mm]c_i=1-c_{s+1-i}[/mm] und [mm]b_i=b_{s+1-i}[/mm]
>
> das würde heißen wenn s=4 dann gilt
> [mm]b_1=b_4[/mm] und [mm]b_2=b_3[/mm] und [mm]c_3=1-c_2[/mm]
>
> und wissen die Ordnung symmetrische QF muss gerade sein.
>
> dann habe ich wie in teil a) die formel verwendet und
> erstmal für die ersten 3 q's berechnet und wir wissen
> [mm]c_1=0[/mm] und [mm]c_4=1.[/mm]
> man erhält dann:
> q=1: [mm]b_1[/mm] + [mm]b_2+ b_3+b_4=1[/mm] I.
> q=2: [mm]b_2c_2+b_3c_3+b_4=\bruch{1}{2}[/mm] II.
> q=3: [mm]b_2c_2^2+b_3c_3^2+b_4=\bruch{1}{3}[/mm] III.
>
> dann habe ich [mm]b_1=b_4[/mm] und [mm]b_3=b_2[/mm] eingesetzt in I. und habe
> dann [mm]c_3=1-c_2[/mm] in den anderen Gleichungen eingesetzt
>
> I. [mm]2b_2[/mm] + [mm]2b_4=1[/mm]
> II. [mm]b_2+ b_4[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> III. [mm]2b_2c_2^2[/mm] + [mm]b_2-2b_2c_2 +b_4=\bruch{1}{3}[/mm]
>
Die Gleichungen stimmen.
Man erhält eine Vielzahl von Lösungen.
Auch ohne die Kenntnis, dass [mm]c_{3}=1-c_{2}[/mm]
erhält man parameteranhängige Lösungen.
> irgendwie scheint es mir falsch zu sein was ich da gemacht
> habe. könnt ihr mir weiterhelfen?
> ich habe auch versucht indem ich für q=2m wobei m [mm]\in \IN[/mm]
> aber irgendwie kam ich auch nciht weiter.
>
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
>
> gruß,
> mimo1
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 20.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
hallo danke für deine hilfe. teil a) habe ich jezt herausbekommen.
zu teil b) habe ich folgende lösung herausbekommen:
erstaml waren die gleichung gegeben, die ich davor berechnet habe
I. [mm] 2b_2 [/mm] + [mm] 2b_4 [/mm] = 1
II. [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_4 =\bruch{1}{2}
[/mm]
III. [mm] 2b_2c_2^2 [/mm] - [mm] 2b_2c_2 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_4=\bruch{1}{3}
[/mm]
dann habe ich mal [mm] b_4=t [/mm] gesetzt.
diese eingesetzt in II. und nach [mm] b_2 [/mm] aufgelöst erhalte dann
[mm] b_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}-t
[/mm]
[mm] b_2, b_4 [/mm] habe ich dann in die III. eingestzt
2( [mm] \bruch{1}{2}-t)c_2^2 [/mm] - 2( [mm] \bruch{1}{2}-t)c_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}-t [/mm] + t [mm] =\bruch{1}{3}
[/mm]
man erhält dann [mm] (1-2t)c_2^2-(1-2t)c_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}=0
[/mm]
mit mitternachsformel:
[mm] c_2=\bruch{-(1-2t)\pm \wurzel{(1-2t)^2-4(1-2t)\cdot 1/6}}{2(1-2t)}
[/mm]
wenn man das unter der wurzel ausklammert und zusammenfasst erhält man:
[mm] \wurzel{\bruch{1}{3}-\bruch{8t}{3}+4t^2}
[/mm]
darauf habe ich wieder die mitternachtsformel angewendet
und man erhält dann [mm] t_1=4 [/mm] und [mm] t_2=\bruch{4}{3}.
[/mm]
diese habe ich in die obere mitternachtsformel angewendet.
aber stimmt es bis jetzt was ich gemacht habe?
ich habe das eingesetzt und es kommen keine schönen zahlen raus. kann mir jemand helfen bzw. sagen was ich falsch gemacht habe bzw. richtig.
danke im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:43 Di 21.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> zu teil b) habe ich folgende lösung herausbekommen:
>
> erstaml waren die gleichung gegeben, die ich davor
> berechnet habe
> I. [mm]2b_2[/mm] + [mm]2b_4[/mm] = 1
> II. [mm]b_2[/mm] + [mm]b_4 =\bruch{1}{2}[/mm]
> III. [mm]2b_2c_2^2[/mm] - [mm]2b_2c_2[/mm] +
> [mm]b_2[/mm] + [mm]b_4=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> dann habe ich mal [mm]b_4=t[/mm] gesetzt.
> diese eingesetzt in II. und nach [mm]b_2[/mm] aufgelöst erhalte
> dann
> [mm]b_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}-t[/mm]
>
> [mm]b_2, b_4[/mm] habe ich dann in die III. eingestzt
>
> 2( [mm]\bruch{1}{2}-t)c_2^2[/mm] - 2( [mm]\bruch{1}{2}-t)c_2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}-t[/mm] + t [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> man erhält dann [mm](1-2t)c_2^2-(1-2t)c_2[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}=0[/mm]
>
> mit mitternachsformel:
> [mm]c_2=\bruch{-(1-2t)\pm \wurzel{(1-2t)^2-4(1-2t)\cdot 1/6}}{2(1-2t)}[/mm]
Am Anfang hast du einen Vorzeichenfehler. Es muss heißen:
[mm] c_2=\bruch{(1-2t)\pm \wurzel{(1-2t)^2-4(1-2t)\cdot 1/6}}{2(1-2t)}.
[/mm]
> wenn man das unter der wurzel ausklammert und zusammenfasst
> erhält man:
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{3}-\bruch{8t}{3}+4t^2}[/mm]
Ja.
> darauf habe ich wieder die mitternachtsformel angewendet
> und man erhält dann [mm]t_1=4[/mm] und [mm]t_2=\bruch{4}{3}.[/mm]
Falsch, aber das spielt hier keine Rolle mehr (siehe unten).
> diese habe ich in die obere mitternachtsformel angewendet.
> aber stimmt es bis jetzt was ich gemacht habe?
Am Ende berechnest du die Nullstellen von der Wurzelfunktion.
Das ist allerdings nicht Sinn dieser Aufgabe. Wieso hast du
das gemacht?
> ich habe das eingesetzt und es kommen keine schönen zahlen
> raus. kann mir jemand helfen bzw. sagen was ich falsch
> gemacht habe bzw. richtig.
Du hast es dir auch ziemlich unübersichtlich gemacht. Ist die
klar, dass folgendes gilt:
[mm] $I\gdw [/mm] II$.
Ansonsten setzen wir dann zum Beispiel [mm] $II\$ [/mm] in [mm] $III\$ [/mm] ein und erhalten
[mm] $2b_2c_2^2-2b_2c_2+\underbrace{\frac{1}{2}}_{b_2+b_4}=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ldots\Rightarrow c_2^2-c_2+\frac{1}{12b_2}=0$ [/mm] für [mm] $b_2\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow c_{{2}_{1/2}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{3b_2-1}{12b_2}}$ [/mm] für [mm] $b_2\not=0$.
[/mm]
Das hast du oben auch, aber leider unübersichtlicher. Zu besseren
Notation kannst du auch einfach [mm] $x:=b_2$, $y:=b_4$ [/mm] und [mm] $z:=c_2$ [/mm] verwenden.
Wie können wir die parameterabhängige Lösungsmenge aufschreiben?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 21.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich denke da fängt das problem an, da ich mit mehreren variablen zu tun habe. z.b wenn ich einen LGS betrachte, welches mehrere lösungen besitzt, davon ist es klar wie man die lösungsmenge aufschreibt.
aber wie mache ich hier? betrachtete ich die [mm] b_i [/mm] als Unbekannte wie wie beim "gewöhnlichen" LGS und die [mm] c_i [/mm] als koeffizienten? muss man evtl. 2 parameterabhängige Lösungsmenge angeben nämlich einmal für die [mm] b_i [/mm] und einmal [mm] c_i?
[/mm]
aber das passt dann auch irgendwie nicht weil ich in [mm] c_2 [/mm] die "variable" [mm] b_2 [/mm] habe sodass es unmöglich ist diese getrennt zu schreiben.
kannst du mir evtl. einen tipp geben. dafür wäre ich sehr dankbar. und nochmal vielen dank für deine hilfe hat mir wirklich weitergeholfen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Di 21.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Mein Tipp ist mein Vorgehen:
Wir wissen, dass [mm] b_2\not=0 [/mm] ist. Jetzt gebe ich eine beliebige Anzahl von möglichen Lösungen an
und überlege wie ich die Lösungsmenge allgemein definieren kann.
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