matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-NumerikQuadraturformel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Numerik" - Quadraturformel
Quadraturformel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Quadraturformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Mo 08.06.2015
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Bestimmen Sie eine Quadraturformel der Form

[mm] $\int_0^\infty e^{-x}f(x)\, dx=\frac{2+\sqrt{2}}{4}f(x_1)+\omega_2 f(x_2)$ [/mm]

mit [mm] $\omega\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $0
Hinweis:
Betrachten Sie dazu [mm] $f(x)=x^k$ [/mm] für $k=0,1,2$.


Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

Zu erst einmal ist mir der Hinweis relativ unklar.
Warum soll ich nun ausgerechnet diese Funktionen betrachten? Ich finde es etwas eigenartig, dass an $f$ im Grunde keine Bedingung geknüpft ist, also $f$ kann ja jede beliebige Funktion sein und dann soll man Funktionen dieser einfachen "Bauart" betrachten.

Bestimme ich die Integrale für die jeweiligen k-Werte, so erhalte ich:

[mm] $\int e^{-x}\, dx=-e^{-x}$ [/mm]

[mm] $\int e^{-x}\cdot x\, dx=-e^{-x}(x+1) [/mm]

[mm] $\int e^{-x}\cdot x^2\, dx=-e^{-x}(x^2+2x+2)$ [/mm]

Für k=0 und k=1 ist das Integral jeweils 1.
Für k=2 ist das Integral 2.

Nun kann ich für die Fälle jeweils das [mm] $\omega_2$ [/mm] berechnen.

Für k=0

[mm] $1=\frac{2+\sqrt{2}}{4}f(x_1)+\omega_2 f(x_2)$ [/mm]

[mm] $\omega_2=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$ [/mm]

Für k=1 ergibt sich (in Abhängigkeit von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$) [/mm]

[mm] $\omega_2=\frac{1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}x_1}{x_2}$ [/mm]

Für k=2 ergibt sich

[mm] $\omega_2=\frac{2-\frac{2+\sqrt{2}}{4}x_1^2}{x_2^2} [/mm]

Bleibt natürlich die Frage was mir das bringt...
Vermuten lässt sich nun natürlich, dass für

[mm] $f(x)=x^n$ [/mm] mit [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] sich die Formel

[mm] $\omega_2=\frac{n!-\frac{2+\sqrt{2}}{4}x_1^n}{x_2^n}$ [/mm]

ergibt, was auch induktiv nicht schwer einzusehen sollte.

Wie gesagt stellt sich mir aber nun die Frage was mir dies für die Aufgabe bringt.
Was passiert wenn ich für $f$ beliebige Funktionen zulasse?
Oder ganz stumpf: Was verlangt die Aufgabe eigentlich von mir...



        
Bezug
Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mo 08.06.2015
Autor: chrisno

die exakt auf $ [mm] \mathbb{P}_3 [/mm] $
Heißt das vielleicht, dass f(x) so ein Polynom sein muss?

Bezug
                
Bezug
Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Mo 08.06.2015
Autor: impliziteFunktion

Doch... das macht Sinn.
Das habe ich gar nicht mehr bedacht.

Bezug
                        
Bezug
Quadraturformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Di 09.06.2015
Autor: impliziteFunktion

Allerdings stellt sich mir weiterhin die Frage, was mir das für die Aufgabe bringt.

f soll also ein Polynom dritten Grades sein. Also von der Form

[mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm]

Nun könnte ich das Integral jeweils zerlegen.

[mm] $\lim_{a\to\infty} \int_0^a e^{-x}ax^3\, dx+\int_0^a e^{-x}bx^2\, dx+\int_0^a e^{-x}cx\, dx+\int_0^a e^{-x}d\, [/mm] dx$

Und jetzt jeweils mit dem vorherigen Ergebnis zusammenführen, da ich für die jeweiligen Teilintegrale ja ein solches [mm] $\omega_2$ [/mm] bestimmt habe.

Bezug
                                
Bezug
Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:30 Mi 10.06.2015
Autor: impliziteFunktion

Hi,

leider bin ich bei dieser Aufgabe immer noch nicht weitergekommen.
Geht es bei der Aufgabe darum für beliebige Polynome dritten Grades immer das [mm] $\omega_2$ [/mm] anzugeben, oder was ist hier konkret zu tun.

Die Fragen sind mittlerweile Überfällig, aber an einer Bearbeitung wäre ich noch durchaus interessiert. :)

Danke.

Bezug
                                
Bezug
Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mi 10.06.2015
Autor: chrisno

Ich habe keine Ahnung, wie das am Ende ausgeht. Datum habe ich mich zurück gehalten. Du musst am Ende [mm] $\omega_2, x_1, x_2$ [/mm] für jedes Polynom angeben können. Diese müssen sich also aus den Koeffizienten des Polynoms bestimmen lassen.
[mm] $\omega_2$ [/mm] scheint durch die Bedingung bei k=0 festgelegt zu sein. Im allgemeineren Fall kommt nochein Faktor d dazu.
Diesen Wert von [mm] $\omega_2$ [/mm] kannst Du dann bei den Fällen k=1 und k=2 einsetzen. Daraus sollte sich ein Gleichungssystem für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] ergeben. Anschließend solten noch die Koeffizienten b und c integriert werden.

Jedoch ist mir es rätselhaft, wie dann noch die [mm] $ax^3$ [/mm] untergebracht werden.

Bezug
        
Bezug
Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Mi 10.06.2015
Autor: fred97

Machen wirs mal systematisch:

Ich glaube nicht, dass mit  $ [mm] \mathbb{P}_3 [/mm] $ die Menge der Polynome mit Grad [mm] \le [/mm] 3 gemeint ist. Das entnehme ich dem

   "Hinweis:
     Betrachten Sie dazu $ [mm] f(x)=x^k [/mm] $ für $ k=0,1,2 $."


Wenn dem so ist, so lautet es wohl $ [mm] \mathbb{P}_2 [/mm] $.




Für k=0,1,2 sei [mm] f_k(x)=x^k [/mm] und [mm] $I_k:=\int_0^\infty e^{-x}f_k(x)\, [/mm] dx$

Sei  [mm] w_1:=\frac{2+\sqrt{2}}{4} [/mm]

1. Wir überzeugen uns von

   [mm] I_0=1,I_1=1 [/mm] und [mm] I_2=2. [/mm]

2. Die Formel soll exakt sein für [mm] f_0. [/mm] Das liefert

   [mm] 1=I_0=w_1+w_2, [/mm]

also

   [mm] w_2=1-w_1=\frac{2-\sqrt{2}}{4}. [/mm]

[mm] w_2 [/mm] haben wir also schon mal dingfest gemacht !

3. Die Formel soll exakt sein für [mm] f_1. [/mm] Das liefert

   [mm] 1=I_1=w_1x_1+w_2x_2. [/mm]

4. Die Formel soll exakt sein für [mm] f_2. [/mm] Das liefert

   [mm] 2=I_2=w_1x^2_1+w_2x^2_2. [/mm]

5. Aus dem (nichtlinearen) Gleichungssystem

  [mm] 1=w_1x_1+w_2x_2 [/mm]

  [mm] 2=w_1x^2_1+w_2x^2_2 [/mm]

sind nun [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] so zu bestimmen, dass auch noch [mm] 0
Viel Spaß !

FRED






Bezug
                
Bezug
Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mi 10.06.2015
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank für die Antworten.
Ich werde mich an das Lösen das Gleichungssystems machen.

Bezug
                        
Bezug
Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Mi 10.06.2015
Autor: fred97

Lautet es nun $ [mm] \mathbb{P}_3 [/mm] $ oder $ [mm] \mathbb{P}_2 [/mm] $  ????

FRED

Bezug
                                
Bezug
Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Mi 10.06.2015
Autor: impliziteFunktion

In der Aufgabenstellung lautet es [mm] $\mathbb{P}_3$. [/mm] Da liegt kein Tippfehler meinerseits vor.

Bezug
                
Bezug
Quadraturformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mi 10.06.2015
Autor: impliziteFunktion

Du hast nicht zufällig das Gleichungssystem gelöst? Ansonsten können wir unsere Ergebnisse abgleichen.

Nach langem rum rechnen komme ich auf die sehr schönen Ergebnisse

[mm] $x_1=2-\sqrt{2}$ [/mm]

[mm] $x_2=2+\sqrt{2}$ [/mm]

Damit gilt auch [mm] $0
Wenn ich die Werte in meine Gleichungen einsetze komme ich wieder auf 1 und 2. Ich sollte mich also nicht verrechnet haben.

(Ein abgleichen der Ergebnisse ist daher auch eigentlich sinnlos...)

Vielen Dank für die Hilfe.

Bezug
                        
Bezug
Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Mi 10.06.2015
Autor: fred97


> Du hast nicht zufällig das Gleichungssystem gelöst?

Nein

> Ansonsten können wir unsere Ergebnisse abgleichen.
>  
> Nach langem rum rechnen komme ich auf die sehr schönen
> Ergebnisse
>
> [mm]x_1=2-\sqrt{2}[/mm]
>  
> [mm]x_2=2+\sqrt{2}[/mm]
>  
> Damit gilt auch [mm]0
>  
> Wenn ich die Werte in meine Gleichungen einsetze komme ich
> wieder auf 1 und 2. Ich sollte mich also nicht verrechnet
> haben.

Prima !


>  
> (Ein abgleichen der Ergebnisse ist daher auch eigentlich
> sinnlos...)

Sehe ich auc so

Fred

>  
> Vielen Dank für die Hilfe.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]