Quadratwurzeln < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Do 26.08.2010 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | | Sei z = 1+i. Bestimme Real- und Imaginärteil der beiden Quadratwurzeln aus z. |
Als aller erstes wollte ich gern mal wissen, was mit "der BEIDEN Quadratwurzeln" wohl gemeint sein könnte?
ist es hilfreich wenn man z hier in Polarform umschreibt?
[mm] z=\wurzel{2}*e^{\pi/4}
[/mm]
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> Sei z = 1+i. Bestimme Real- und Imaginärteil der beiden
> Quadratwurzeln aus z.
> Als aller erstes wollte ich gern mal wissen, was mit "der
> BEIDEN Quadratwurzeln" wohl gemeint sein könnte?
Hallo,
damit sind die beiden komplexen Zahlen gemeint, die mit sich selbst multipliziert 1+i ergeben.
Eine Lösungsmöglichkeit wäre, daß Du sagst: ich suche die komplexe Zahl a+ib mit [mm] (a+ib)^2=1+i.
[/mm]
(Ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich)
>
> ist es hilfreich wenn man z hier in Polarform umschreibt?
>
> [mm]z=\wurzel{2}*e^{\red{i*}\pi/4}[/mm]
Das kannst Du auch machen.
Dann suchst Du die komplexen Zahlen [mm]r*e^{i\varphi}[/mm] mit [mm] (r*e^{i\varphi})^2=\wurzel{2}*e^{i*\pi/4}.
[/mm]
Du kannst es auch mehr geometrisch angehen: beim Multiplizieren von komplexen Zahlen multiplizieren sich die Beträge, und es addieren sich die Winkel. Du suchst also die Zahlen, bei denen das Quadrat des Betrages [mm] \wurzel{2} [/mm] ergibt und bei denen das doppelte des Winkels 45° ergibt.
So, mehr sag' ich da erstmal nicht zu.
Doch: möglicherweise habt Ihr bereits eine vorgefertigte Formel für die Wurzeln aus komplexen zahlen aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Do 26.08.2010 | | Autor: | Bling |
Da steht sie ja, die Formel... auf meiner Zusammenfassung ^^
[mm] \wurzel[n]{z}=z^{1/n}= |z|^{1/n}*exp(\bruch{i*\phi}{n})
[/mm]
==> [mm] \phi [/mm] = [mm] tan^{-1}(1)=\bruch{\pi}{4} [/mm] oder [mm] \bruch{5*\pi}{4}
[/mm]
[mm] 2^{1/4}*exp(\bruch{i*\bruch{\pi}{4}}{2})
[/mm]
oder
[mm] 2^{1/4}*exp(\bruch{i*\bruch{5*\pi}{4}}{2})
[/mm]
und dann die beiden noch mit [mm] r*exp(i*\phi)=r*cos(\phi)+r*i*sin(\phi) [/mm] in Real- und Imaginärteil aufteilen!
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> Da steht sie ja, die Formel... auf meiner Zusammenfassung
> ^^
>
> [mm]1[/mm]
Hallo,
irgendwie müßte da aber auch noch etwas für Dein [mm] \phi [/mm] stehen.
Normalerweise wird die Sache so notiert:
für [mm] z\neq [/mm] 0 mit [mm] z=|z|\,\mathrm e^{\mathrm i\varphi} [/mm] sind die n-ten Wurzeln aus z die komplexen Zahlen
[mm] z_k=\sqrt[n]{|a|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1) [/mm] .
Wie auch immer: Deine Winkel stimmen. Vom Doppelbruch im Ergebnis allerdings solltest Du Dich noch trennen.
>
> und dann die beiden noch mit
> [...] in Real- und
> Imaginärteil aufteilen!
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Do 26.08.2010 | | Autor: | Bling |
Danke schön!
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