Quadratzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 So 15.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
| Aufgabe | | Eine mind. 2-stellige Zahl mit lauter gleichen Ziffern ist nie eine Quadratzahl |
Hallo ihr Lieben,
ich habe da mal wieder eine Frage.
Ich weiß ja, dass Quadratzahlen bei Division durch 4 den Rest 1 oder 0 lassen.. dann habe ich mal rumexperimentiert und gesehen, dass z.B. 33 bei Disivion durch 4 den Rest 1 lässt :(
Dann konnte ich den Satz nicht mehr beweisen... Hoffe mir kann einer helfen, wie ich den Satz sonst beweisen kann..
Vielen Dank im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 15.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Eine mind. 2-stellige Zahl mit lauter gleichen Ziffern ist
> nie eine Quadratzahl
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich habe da mal wieder eine Frage.
> Ich weiß ja, dass Quadratzahlen bei Division durch 4 den
> Rest 1 oder 0 lassen.. dann habe ich mal rumexperimentiert
> und gesehen, dass z.B. 33 bei Disivion durch 4 den Rest 1
> lässt :(
> Dann konnte ich den Satz nicht mehr beweisen... Hoffe mir
> kann einer helfen, wie ich den Satz sonst beweisen kann..
Du kannst jede solche Zahl doch schreiben als $a [mm] \cdot [/mm] 111...111 = a [mm] \cdot (10^n [/mm] + [mm] 10^{n-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] 10^2 [/mm] + [mm] 10^1 [/mm] + [mm] 10^0) [/mm] = a [mm] \cdot \sum_{i=0}^n 10^i [/mm] = a [mm] \frac{10^{n+1} - 1}{10 - 1} [/mm] = [mm] \frac{a (10^{n+1} - 1)}{3^2}$ [/mm] mit $a [mm] \in \{ 1, 2, 3, \dots, 9 \}$ [/mm] und $n [mm] \ge [/mm] 2$.
Jetzt gibt es zwei Faelle:
- $a$ ist ein Quadrat
- $a$ ist kein Quadrat.
Ist $a$ ein Quadrat, so muss auch [mm] $10^{n+1} [/mm] - 1$ ein Quadrat sein. Dazu schaust du dir das modulo 4 an: dann bekommst du, dass [mm] $2^{n+1} [/mm] - 1 [mm] \equiv \pm [/mm] 0, 1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] sein muss. Das geht aber nur, wenn $n = 0$ ist, und den Fall haben wir ausgeschlossen.
Ist also unsere Zahl ein Quadrat, so kann nicht $a = 1, a = 4, a = 9$ sein.
Nun, da $a$ kein Quadrat ist, muss jeder Primteiler $p$ von $a$, der nicht als gerade Primzahlpotenz vorkommt auch ein Teiler von [mm] $10^{n+1} [/mm] - 1$ sein. Dies geht aber nur, wenn $p$ kein Teiler von 10 ist, also $p [mm] \neq [/mm] 2, 5$. Damit fallen die Moeglichkeiten $a = 2$, $a = 5$, $a = 6$, $a = 8$ (da [mm] $2^3$ [/mm] eine ungerade Zweierpotenz ist).
Es bleiben also die Moeglichkeiten $a = 3$ und $a = 7$. Jetzt bist du an der Reihe. Vollzieh das obige erstmal nach und dann versuch ob du mit $a = 3$ und $a = 7$ weiterkommst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 So 15.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
Hallo Felix,
danke für die Antwort... ich habe das leider noch nicht ganz verstanden und zwar:
"Ist a ein Quadrat, so muss auch [mm] 10^{n+1} [/mm] - 1 ein Quadrat sein"
"Ist also unsere Zahl ein Quadrat, so kann nicht a = 1, a = 4, a = 9 sein.
Warum?
Und den zweiten Teil konnte ich leider auch noch nicht genau nachvollziehen, wäre lieb wenn du mir das nochmal anders erklären könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mo 16.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für die Antwort... ich habe das leider noch nicht
> ganz verstanden und zwar:
>
> "Ist a ein Quadrat, so muss auch [mm]10^{n+1}[/mm] - 1 ein Quadrat
> sein"
Schau dir die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung an. Damit eine Zahl ein Quadrat ist, muss das Vorzeichen positiv sein, sowie alle Primteiler muessen mit grader Vielfachheit vorkommen. So ist z.B. $2 [mm] \cdot [/mm] 2$ ein Quadrat, $2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2$ nicht, $2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2$ schon, etc. Und $2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3$ ist kein Quadrat (da 3 eine ungerade Anzahl oft vorkommt), dagegen $2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 3$ schon.
Also. Jetzt hast du Quotient von $a$ (einem Quadrat) mal [mm] $10^{n+1} [/mm] - 1$ durch 9 (ebenfalls ein Quadrat). Sprich: das Produkt ist genau dann ein Quadrat, wenn auch [mm] $10^{n+1} [/mm] - 1$ ein Quadrat ist.
> "Ist also unsere Zahl ein Quadrat, so kann nicht a = 1, a =
> 4, a = 9 sein.
Nun, 1, 4 und 9 sind genau die Quadrate in [mm] $\{ 1, 2, 3, \dots, 9 \}$.
[/mm]
> Und den zweiten Teil konnte ich leider auch noch nicht
> genau nachvollziehen, wäre lieb wenn du mir das nochmal
> anders erklären könntest.
Versuch erstmal das obige nachzuvollziehen. Und dann versuch das erstmal selber hinzubekommen. Wenn du laenger drueber nachdenkst, bekommst du vielleicht selber eine Idee warum es so ist und wie's weitergeht.
LG Felix
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