Quadrierte Max.fkt ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Hallo liebe Mathefreunde,
laut meinem Skript ist die folgende Maximumsfunktion auf dem reellen Zahlenraum stetig differenzierbar.
[mm]
max\{0,x\}^2
[/mm]
Einen Beweis dazu liefert mein Skript leider nicht, es wurde lediglich davor behauptet, dass die nicht quadrierte Maximumsfunktion einseitig diffbar sei.
Demzufolge müsste doch auch die Funktion
[mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
für alle stetig diffbaren Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar sein, oder nicht? Und ist die folgende Ableitung dann so korrekt?
[mm]
g(x)dx = 2*max\{0,f(x)\}*f(x)dx
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe
Lisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lisa, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hier scheint mir ein Missverständnis vorzuliegen. Ich nehme an, auf Deiner Seite, aber wer weiß...
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> laut meinem Skript ist die folgende Maximumsfunktion auf
> dem reellen Zahlenraum stetig differenzierbar.
> [mm]
max\{0,x\}^2
[/mm]
> Einen Beweis dazu liefert mein Skript leider nicht,
Den müsstest Du leicht selbst hinbekommen. Interessant ist ja nur die Stelle x=0 (warum?). Bilde da den links- und den rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung.
> es
> wurde lediglich davor behauptet, dass die nicht quadrierte
> Maximumsfunktion einseitig diffbar sei.
Auch das geht genauso leicht zu zeigen.
Hast du Dir schonmal überlegt, wie die Graphen der beiden Funktionen aussehen? Da springt es einen förmlich an. 
> Demzufolge müsste doch auch die Funktion
> [mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
> für alle stetig diffbaren
> Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar sein,
> oder nicht?
Keineswegs. Nimm z.B. [mm] f(x)=\sin{(x)}, [/mm] da klappts nicht.
> Und ist die folgende Ableitung dann so korrekt?
> [mm]
g(x)dx = 2*max\{0,f(x)\}*f(x)dx
[/mm]
Abgesehen von der eigenartigen Notation stimmt das auch nicht. Wo kommt der Faktor $f(x)$ denn her? Auch hier gilt die Kettenregel, und $f(x)$ ist nebenbei auch nur unter bestimmten Bedingungen (bzw. nur in bestimmten Intervallen) aus der Maximumsfunktion herauszuziehen.
Im übrigen gibt es natürlich auch Funktionen, bei denen Deine Verallgemeinerung funktionieren würde. Welche Bedingungen müssen sie erfüllen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Hallo reverend,
danke erst einmal, für deine schnelle Antwort! 
Das hätte ich nicht erwartet, dass einem hier so schnell geholfen wird!
> > Einen Beweis dazu liefert mein Skript leider nicht,
>
> Den müsstest Du leicht selbst hinbekommen. Interessant ist
> ja nur die Stelle x=0 (warum?). Bilde da den links- und den
> rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung.
Interessant ist nur die Stelle x=0, da
[mm]
h(x):=max\{0,x\}^2=\left\{\begin{matrix}
x^2, & \mbox{wenn }x>=0\\
0, & \mbox{sonst }\end{matrix}\right.
[/mm]
gilt, und die betrachteten Teilfunktionen auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig diff'bar sind und somit auch auf den jeweiligen Teilintervallen.
Da die linksseitige mit der rechtsseitigen Ableitung auch an der Stelle x=0 übereinstimmt (ist beidesmal 0) ist die Funktion diff'bar.
Hier gilt doch dann
[mm]
h'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x, & \mbox{wenn }x>=0\\
0, & \mbox{sonst }\end{matrix}\right.
\mbox{ also } h'(x) = 2*max\{0,x\}
[/mm]
oder nicht?
> > es wurde lediglich davor behauptet, dass die nicht quadrierte
> > Maximumsfunktion einseitig diffbar sei.
>
> Auch das geht genauso leicht zu zeigen.
> Hast du Dir schonmal überlegt, wie die Graphen der beiden
> Funktionen aussehen? Da springt es einen förmlich an.
Ja, die Graphen habe ich mir schoneinmal angeschaut und man sieht schön, dass die quadrierte Max.fkt. keinen Knick bei x=0 hat :)
Da auch für die nicht quadrierte Max.fkt. die einseitigen Ableitungen in x=0 existieren, ist die Funktion einseitig diff'bar, allerdings nicht diff'bar, da die rechtsseitige nicht mit der linksseitigen Übereinstimmt [mm] ($1\ne0$)
[/mm]
> > Demzufolge müsste doch auch die Funktion
> > [mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
> > für alle stetig diffbaren
> > Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar
> sein,
> > oder nicht?
>
> Keineswegs. Nimm z.B. [mm]f(x)=\sin{(x)},[/mm] da klappts nicht.
Wieso klappt das nicht? Gilt hier dann nicht einfach:
[mm]
g'(x) = 2*max\{0,\sin{(x)}\}*\cos{(x)}
[/mm]
> Abgesehen von der eigenartigen Notation stimmt das auch
> nicht.
Tut mir leid für die seltsame Notation, was ich gemeint hatte war:
$ g'(x) = [mm] 2\cdot{}max\{0,f(x)\}\cdot{}f'(x) [/mm] $
> Im übrigen gibt es natürlich auch Funktionen, bei denen
> Deine Verallgemeinerung funktionieren würde. Welche
> Bedingungen müssen sie erfüllen?
Wie Du sicher schon festgestellt hast, bin ich leider keine Expertin in Mathematik :-(
Ich muss einen Algorithmus programmieren, für welchen ich die ersten zwei Ableitungen der Funktion g benötige und ich dachte, dass zumindest die erste Ableitung so wie oben existieren würde, sobald die Bedingung, dass f(x) stetig diff'bar ist erfüllt ist.
Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn du mir sagen könntest, was für Bedingungen sonst noch erfüllt sein müssen.
Und ich dachte auch, dass eine zweite Ableitung bis auf die Nullstellen von f definiert sei, ist das auch nicht richtig?
Liebe Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mi 25.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir mal deine fkt gezeichnet für f(x)=sin(x) und [mm] sin^2(x) [/mm] an dann siehst du dass f stetig nicht reicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 25.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo reverend,
> > Demzufolge müsste doch auch die Funktion
> > [mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
> > für alle stetig diffbaren
> > Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar
> sein,
> > oder nicht?
>
> Keineswegs. Nimm z.B. [mm]f(x)=\sin{(x)},[/mm] da klappts nicht.
Doch. Mit
[mm] $h\colon\IR\to\IR,\quad y\mapsto (\max(0,y))^2$
[/mm]
gilt
[mm] $g=h\circ [/mm] f$.
Nach der Kettenregel ist also $g$ differenzierbar mit
$g'(x)=h'(f(x))*f'(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Insbesondere ist $g'$ stetig. $g$ ist also stetig differenzierbar.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
mal neben dem, was reverend sagte und auch ergänzend:
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> laut meinem Skript ist die folgende Maximumsfunktion auf
> dem reellen Zahlenraum stetig differenzierbar.
> [mm]
max\{0,x\}^2
[/mm]
Zum einen kannst Du die Funktion explizit(er) hinschreiben, dazu verwende:
[mm] $(\*)$ $\max\{0,x\}=\begin{cases}0, & \text{ falls } x \le 0, \\
x, & \text{ falls } x \ge 0.\end{cases}$
[/mm]
Die rechte Seite ist insbesondere wohldefiniert (an der Stelle [mm] $0\,$) [/mm] - man
könnte sie auch etwas anders hinschreiben, dann braucht man solch' einen
Kommentar nicht.
Dann ist klar, wie [mm] $(\max\{0,x\})^\red{2}$ [/mm] aussieht (zeichne Dir auch mal den Graphen),
und wie die Ableitung davon aussieht. Du musst übrigens (durch einen
kurzen Blick) auch erkennen (können), dass die Ableitungsfunktion stetig
ist. Das steht insbesondere auch in der Aufgabe mit drin. (Die Stelle [mm] $0\,$
[/mm]
muss aber auch hier wieder separat untersucht werden - man kann das
aber mit etwas Geschick schnell, auch ohne Differenzquotient, begründen!)
Zum anderen hier aber mal eine
Alternative:
1.) Falls unbekannt, so beweise, dass für beliebige $a,b [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $\max\{a,b\}=\frac{a+b}{2}+\frac{|a-b|}{2}.$
[/mm]
2. Mit speziell [mm] $a=0\,$ [/mm] und $b=x$ folgt dann bei Deiner Funktion [mm] $f\,:$
[/mm]
[mm] $f(x)=(\max\{0,x\})^2=\left(\frac{x}{2}+\frac{|x|}{2}\right)^2=\frac{x^2}{4}+2*\frac{x*|x|}{4}+\frac{|x|^2}{4}=\frac{x^2+x*|x|}{2}\,.$
[/mm]
Damit reduziert sich die Aufgabe darauf, die Funktion
[mm] $u(x):=x*|x|\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
auf stetige Differenzierbarkeit zu prüfen - und auch von dieser Funktion
kann man sich erstmal den Graphen angucken.
Klar ist, dass [mm] $u_{|(-\infty,0)}$ [/mm] und [mm] $u_{|(0,\infty)}$ [/mm] diff'bar sind - die Ableitungen
kann man explizit hinschreiben. Dann ist nur noch die Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] separat
zu untersuchen. (Auch hier kann man das anders und einfacher machen,
indem man sich klarmacht, dass [mm] $u_{|(-\infty,0\red{\,]}}$ [/mm] und [mm] $u_{|\red{[\,}0,\infty)}$ [/mm] diff'bar sind!)
Wirklich günstiger wird das vielleicht auch nicht sein - aber es ist sicher
ein interessanter Alternativweg zu der Idee mit [mm] $(\*)$.
[/mm]
Das wichtigste aber: Egal, was Du auch machst - beachte, dass bei der stetigen
Diff'barkeit insbesondere auch die Ableitung nicht nur existent, sondern
auch stetig sein soll!
P.S. Es beantwortet auch eine von reverends Fragen an Dich, aber bedenke, dass bei
$(g [mm] \circ f)'(x_0)=g'(f(x))*f'(x_0)$
[/mm]
man insbesondere schonmal voraussetzt, dass [mm] $f'(x_0)$ [/mm] existiert.
P.P.S. Sei [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar. Sei [mm] $g(x):=(\max\{0,x\})^2.$ [/mm] Dann weißt Du ja schon [mm] $g'(x)=2*\max\{0,x\}.$ [/mm] Um nun
[mm] $h(x):=(\max\{0,f(x)\})^2$
[/mm]
auf Diff'barkeit zu untersuchen, beachte einfach:
$h=g [mm] \circ f\,.$
[/mm]
Nebenbei: Ich habe hier bisher nur von Diff'barkeit gesprochen. Wolltest
Du [mm] $h\,$ [/mm] auf stetige Diff'barkeit untersuchen, so würden wir wohl besser
auch [mm] $f\,$ [/mm] als stetig diff'bar voraussetzen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> laut meinem Skript ist die folgende Maximumsfunktion auf
> dem reellen Zahlenraum stetig differenzierbar.
> [mm]
max\{0,x\}^2
[/mm]
> Einen Beweis dazu liefert mein Skript leider nicht, es
> wurde lediglich davor behauptet, dass die nicht quadrierte
> Maximumsfunktion einseitig diffbar sei.
$x [mm] \mapsto \max\{0,x\}$ [/mm] ist diff'bar auf [mm] $\IR \setminus \{0\}.$ [/mm] Sie ist auch rechtsseitig diff'bar
an der Stelle $0$ und auch linksseitig diff'bar an der Stelle $0$ - aber sie ist nicht
diff'bar an der Stelle 0, weil die rechtsseitige Ableitung an der Stelle (diese
ist =1) nicht mit der linksseitigen Ableitung (diese ist =0) an der Stelle 0
übereinstimmen. Damit ist "nur 0" Deine "zu behandelnde Problemstelle",
um die Ableitung von $x [mm] \mapsto \max\{0,x\}^\red{2}$ [/mm] mal hinzuschreiben!
> Demzufolge müsste doch auch die Funktion
> [mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
> für alle stetig diffbaren
> Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar sein,
> oder nicht?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und ist die folgende Ableitung dann so
> korrekt?
> [mm]
g(x)dx = 2*max\{0,f(x)\}*f(x)dx
[/mm]
Alleine, wenn [mm] $f\,$ [/mm] "nur" diff'bar wäre, könntest Du
[mm] $g'(x)=\frac{dg(x)}{dx}=2*\max\{0,f(x)\}*\frac{df(x)}{dx}=2*\max\{0,f(x)\}*f\red{'}(x)$
[/mm]
schreiben. Stetig diff'bar ist natürlich noch mehr - die Formel bleibt dann
aber gleich. [mm] ($f\,$ [/mm] stetig diff'bar liefert aber dann, dass auch [mm] $g'\,$ [/mm] stetig ist -
wenn man [mm] $f\,$ [/mm] "nur" als diff'bar hat, ist diese Eigenschaft an [mm] $g\,$ [/mm] nicht zu
erwarten!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 25.09.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Hallo Marcel,
danke auch Dir für deine Antwort!
Jetzt bin ich zugegebenermaßen allerdings etwas verwirrt.
> [mm]x \mapsto \max\{0,x\}[/mm] ist diff'bar auf [mm]\IR \setminus \{0\}.[/mm]
> Sie ist auch rechtsseitig diff'bar
> an der Stelle [mm]0[/mm] und auch linksseitig diff'bar an der
> Stelle [mm]0[/mm] - aber sie ist nicht
> diff'bar an der Stelle 0, weil die rechtsseitige Ableitung
> an der Stelle (diese
> ist =1) nicht mit der linksseitigen Ableitung (diese ist
> =0) an der Stelle 0
> übereinstimmen.
Okay, soweit ist mir alles klar.
> Damit ist "nur 0" Deine "zu behandelnde
> Problemstelle",
> um die Ableitung von [mm]x \mapsto \max\{0,x\}^\red{2}[/mm] mal
> hinzuschreiben!
In deiner ursprünglichen Antwort hattest Du geschrieben:
> P.P.S. Sei $ [mm] f\, [/mm] $ diff'bar. Sei $ [mm] g(x):=(\max\{0,x\})^2. [/mm] $ Dann weißt Du ja schon $ [mm] g'(x)=2\cdot{}\max\{0,x\}. [/mm] $ Um nun
> $ [mm] h(x):=(\max\{0,f(x)\})^2 [/mm] $
> auf Diff'barkeit zu untersuchen, beachte einfach:
> $ h=g [mm] \circ f\,. [/mm] $
Okay, ich setze f als stetig diff'bar, somit insbesondere diff'bar voraus (d.h. $f'(x)$ existiert für alle [mm] $x\in\IR$). [/mm]
Damit folgt doch mit der Kettenregel
$h'(x) = (g [mm] \circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot{}f'(x) [/mm] = [mm] 2\cdot{}\max\{0,f(x)\}*f'(x)$
[/mm]
oder nicht?
> > Demzufolge müsste doch auch die Funktion[mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
> > für alle stetig diffbaren
> > Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar sein,
> > oder nicht?
>
>
heißt , dass meine Aussage stimmt? reverend ist da ja anderer Meinung.
> Alleine, wenn [mm]f\,[/mm] "nur" diff'bar wäre, könntest Du
>
> [mm]g'(x)=\frac{dg(x)}{dx}=2*\max\{0,f(x)\}*\frac{df(x)}{dx}=2*\max\{0,f(x)\}*f\red{'}(x)[/mm]
>
> schreiben. Stetig diff'bar ist natürlich noch mehr - die
> Formel bleibt dann
> aber gleich. ([mm]f\,[/mm] stetig diff'bar liefert aber dann, dass
> auch [mm]g'\,[/mm] stetig ist -
> wenn man [mm]f\,[/mm] "nur" als diff'bar hat, ist diese Eigenschaft
> an [mm]g\,[/mm] nicht zu
> erwarten!)
Verstehe ich dich also richtig, dass meine erstmalige Überlegung schon korrekt war (ich habe schließlich immer gesagt, dass f stetig diff'bar und nicht nur diff'bar sein soll) und somit auch meine Ableitung korrekt war? (außer dass ich versehentlich $fxdx$ anstatt [mm] $\frac{df(x)}{dx}$ [/mm] geschrieben habe)
Viele Grüße
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 25.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lisaa25,
> > P.P.S. Sei [mm]f\,[/mm] diff'bar. Sei [mm]g(x):=(\max\{0,x\})^2.[/mm] Dann
> weißt Du ja schon [mm]g'(x)=2\cdot{}\max\{0,x\}.[/mm] Um nun
> > [mm]h(x):=(\max\{0,f(x)\})^2[/mm]
> > auf Diff'barkeit zu untersuchen, beachte einfach:
> > [mm]h=g \circ f\,.[/mm]
>
> Okay, ich setze f als stetig diff'bar, somit insbesondere
> diff'bar voraus (d.h. [mm]f'(x)[/mm] existiert für alle [mm]x\in\IR[/mm]).
> Damit folgt doch mit der Kettenregel
> [mm]h'(x) = (g \circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot{}f'(x) = 2\cdot{}\max\{0,f(x)\}*f'(x)[/mm]
>
> oder nicht?
Ja.
> > > Demzufolge müsste doch auch die Funktion[mm]
g(x) = max\{0,f(x)\}^2
[/mm]
> > > für alle stetig diffbaren
> > > Funktionen f auf den reellen Zahlen stetig diffbar sein,
> > > oder nicht?
> >
> >
>
> heißt , dass meine Aussage stimmt? reverend ist da ja
> anderer Meinung.
Deine Aussage stimmt.
> > Alleine, wenn [mm]f\,[/mm] "nur" diff'bar wäre, könntest Du
> >
> >
> [mm]g'(x)=\frac{dg(x)}{dx}=2*\max\{0,f(x)\}*\frac{df(x)}{dx}=2*\max\{0,f(x)\}*f\red{'}(x)[/mm]
> >
> > schreiben. Stetig diff'bar ist natürlich noch mehr - die
> > Formel bleibt dann
> > aber gleich. ([mm]f\,[/mm] stetig diff'bar liefert aber dann, dass
> > auch [mm]g'\,[/mm] stetig ist -
> > wenn man [mm]f\,[/mm] "nur" als diff'bar hat, ist diese
> Eigenschaft
> > an [mm]g\,[/mm] nicht zu
> > erwarten!)
>
> Verstehe ich dich also richtig, dass meine erstmalige
> Überlegung schon korrekt war (ich habe schließlich immer
> gesagt, dass f stetig diff'bar und nicht nur diff'bar sein
> soll) und somit auch meine Ableitung korrekt war? (außer
> dass ich versehentlich [mm]fxdx[/mm] anstatt [mm]\frac{df(x)}{dx}[/mm]
> geschrieben habe)
Ja.
Viele Grüße
Tobias
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