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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Quadrik
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Quadrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Sa 11.06.2011
Autor: frato

Hallo
ich habe eine kleine Frage zu Quadriken:
Die Allgemeine Form einer Quadrik ist doch: [mm] (xy)A\vektor{x \\ y}+b^{T}\vektor{x \\ y}+c=0. [/mm] Jetzt würde mich interessieren wie auch auf den von mir markierten Teil im Anhang komme!?
[Dateianhang nicht öffentlich]


Viel Dank wieder mal ;)!




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Sa 11.06.2011
Autor: MathePower

Hallo frato,


> Hallo
> ich habe eine kleine Frage zu Quadriken:
>  Die Allgemeine Form einer Quadrik ist doch: [mm](xy)A\vektor{x \\ y}+b^{T}\vektor{x \\ y}+c=0.[/mm]
> Jetzt würde mich interessieren wie auch auf den von mir
> markierten Teil im Anhang komme!?


Zunächst wurde die angegebene Transformation eingesetzt.
Dabei tritt noch ein lineares Glied auf:

[mm]... \ + \left(2*m^{T}A+b^{T}\right) *\pmat{u \\ v}+ \ ... = 0[/mm]

Dieses lineare Glied soll verschwinden,
d.h. es ist m so zu wählen, daß

[mm]2*m^{T}A+b^{T}=0^{T}[/mm]

Daraus ergibt sich dann der markierte Teil.


>
> Viel Dank wieder mal ;)!
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Quadrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Sa 11.06.2011
Autor: frato

Hm... Also das Grundsätzliche denke ich, habe ich dann schon richtig verstanden.
Vielleicht liegt mein Problem auch bei den "Rechenschritten"... Mir ist immer noch nicht 100%ig klar wie ich auf das komme. Die Variablentransformation besagt doch, dass ich für [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] dann [mm] \vektor{u \\ v}+m [/mm] einsetze, oder? Könntest du mir vielleicht dann mal schnell die einzelnen Rechenschritte skizzieren, wie ich auf das Endergebnis komme?

Irgendwie stehe/sitze ich gerade auf der Leitung... Sorry!


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Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Sa 11.06.2011
Autor: MathePower

Hallo frato,

> Hm... Also das Grundsätzliche denke ich, habe ich dann
> schon richtig verstanden.
> Vielleicht liegt mein Problem auch bei den
> "Rechenschritten"... Mir ist immer noch nicht 100%ig klar
> wie ich auf das komme. Die Variablentransformation besagt
> doch, dass ich für [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] dann [mm]\vektor{u \\ v}+m[/mm]
> einsetze, oder? Könntest du mir vielleicht dann mal
> schnell die einzelnen Rechenschritte skizzieren, wie ich
> auf das Endergebnis komme?
>  


Löse zunächst die Gleichung

[mm]2\cdot{}m^{T}A+b^{T}=0^{T}[/mm]

nach m auf, und setze dieses m in die transformierte Gleichung ein.


> Irgendwie stehe/sitze ich gerade auf der Leitung... Sorry!
>


Gruss
MathePower  

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Bezug
Quadrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Sa 11.06.2011
Autor: frato

Wenn ich diese Gleichung auflöse erhalte ich  m= [mm] -\bruch{1}{2}A^{-1}b [/mm]

und dieses m muss ich nun in folgende Gleichung einsetzen:

[mm] [(uv)+m^{T}]A[\vektor{u \\ v}+m]+b^{T}[\vektor{u \\ v}+m]+c=0 [/mm]

Stimmt das oder habe ich da was falsch verstanden?

Bezug
                                        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Sa 11.06.2011
Autor: MathePower

Hallo frato,

> Wenn ich diese Gleichung auflöse erhalte ich  m=
> [mm]-\bruch{1}{2}A^{-1}b[/mm]
>  
> und dieses m muss ich nun in folgende Gleichung einsetzen:
>  
> [mm][(uv)+m^{T}]A[\vektor{u \\ v}+m]+b^{T}[\vektor{u \\ v}+m]+c=0[/mm]
>  
> Stimmt das oder habe ich da was falsch verstanden?


Das hast Du richtig verstanden.


Gruss
MathePower

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Bezug
Quadrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Sa 11.06.2011
Autor: frato

Wieder einmal danke! Habe es jetzt nachgerechnet und überraschenderweise kommt das gesuchte raus :)...

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