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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Bestimme die Normalform der Quadrik [mm] Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+20x_3^2+12x_1x_2+12x_1x_3+24x_2x_3-14x_2+7x_3-7. [/mm] |
Also ich hab versucht die Matrix A' zu bestimmen und komme auf:
[mm] \pmat{ 1 & 6 & 6 \\ 6 & 0 & 12 \\ 6 & 12 & 20 }
[/mm]
Stimmt das? das Verfahren ist mir an sich klar, aber wenn ich dann
das charakteristische Polynom bestimme , bekomme ich einen Term, der keine ganzzahligen Nst. hat... Deshalb vermute ich hab ich i-wo einen Fehler in der Matrix..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Hat sich erledigt, hatte mich bein Charakt. Poly. verrechnet...
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Hallo rollroll,
> Bestimme die Normalform der Quadrik
> [mm]Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+20x_3^2+12x_1x_2+12x_1x_3+24x_2x_3-14x_2+7x_3-7.[/mm]
> Also ich hab versucht die Matrix A' zu bestimmen und komme
> auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 6 & 6 \\ 6 & 0 & 12 \\ 6 & 12 & 20 }[/mm]
>
> Stimmt das? das Verfahren ist mir an sich klar, aber wenn
> ich dann
> das charakteristische Polynom bestimme , bekomme ich einen
> Term, der keine ganzzahligen Nst. hat... Deshalb vermute
> ich hab ich i-wo einen Fehler in der Matrix..
In der Matrix ist kein Fehler.
Vielmehr liegt der Fehler möglicherweise
in der Berechnung des charakteristischen Polynoms.
Poste doch dazu Deine Rechenschritte zur
Bestimmung des charakteristischen Polynoms.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
hatte ja schon geschrieben, dass ich mich beim charakt. polynom nur verrechnet habe.
Hänge jetzt aber trotzdem bei der Aufgabe:
Als EW hab ich raus:
0,-7,28
Als Matrix S mit den EV als Spalten: 1/7 [mm] \pmat{ -6 & 3 & 2 \\ -2 & -6 & 3 \\ 3 & 2 & 6 }
[/mm]
Dann habe ich [mm] x_1=-6y_1+3y_2+2y_3; x_2=-2y_1-6y_2+3y_3; x_3=3y_1+2y_2+6y_3 [/mm] gesetzt und [mm] q(y_1,y_2,y_3) [/mm] berechnet und hab
[mm] 7(-49y_2^2+196y_3^2+7y_1+14y_2-1) [/mm] raus.
Jetzt ist mir nicht klar, wie ich weiter machen soll...
Hab's mal so versucht dass ich [mm] -343y_2^2+98y_2 [/mm] quadratisch ergänzt habe:
[mm] -343(y_2^2-2/7y_2+1/49)+7=-343(y_2-1/7)^2+7
[/mm]
Wie geht's dann weiter?
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Hallo rollroll,
> hatte ja schon geschrieben, dass ich mich beim charakt.
> polynom nur verrechnet habe.
> Hänge jetzt aber trotzdem bei der Aufgabe:
> Als EW hab ich raus:
> 0,-7,28
> Als Matrix S mit den EV als Spalten: 1/7 [mm]\pmat{ -6 & 3 & 2 \\ -2 & -6 & 3 \\ 3 & 2 & 6 }[/mm]
>
> Dann habe ich [mm]x_1=-6y_1+3y_2+2y_3; x_2=-2y_1-6y_2+3y_3; x_3=3y_1+2y_2+6y_3[/mm]
> gesetzt und [mm]q(y_1,y_2,y_3)[/mm] berechnet und hab
> [mm]7(-49y_2^2+196y_3^2+7y_1+14y_2-1)[/mm] raus.
Hier muss doch stehen:
[mm]7(\red{-1}y_2^2+\red{4}y_3^2+7y_1+14y_2-1)[/mm]
> Jetzt ist mir nicht klar, wie ich weiter machen soll...
> Hab's mal so versucht dass ich [mm]-343y_2^2+98y_2[/mm]
> quadratisch ergänzt habe:
Ja, quadratische Ergänzung ist jetzt angebracht.
> [mm]-343(y_2^2-2/7y_2+1/49)+7=-343(y_2-1/7)^2+7[/mm]
> Wie geht's dann weiter?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Dann muss ich ja i-wo einen Rechenfehler bei den quadratischen ausdrücken haben, kann den aber nicht finden...
ich schreib jetzt nur mal die quadr. Teile hin:
[mm] 36y_1^2+180y_1^2+144y_1^2-216y_1^2-144y_1^2=0
[/mm]
[mm] 9y_2^2+80y_2^2-216y_2^2+72y_2^2-288y_2^2=-343y_2^2
[/mm]
[mm] 4y_3^2+720y_3^2+72y_3^2+144y_3^2+432y_3^2=1372y_3^2
[/mm]
Siehst du den fehler?
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Hallo rollroll,
> Dann muss ich ja i-wo einen Rechenfehler bei den
> quadratischen ausdrücken haben, kann den aber nicht
> finden...
> ich schreib jetzt nur mal die quadr. Teile hin:
> [mm]36y_1^2+180y_1^2+144y_1^2-216y_1^2-144y_1^2=0[/mm]
> [mm]9y_2^2+80y_2^2-216y_2^2+72y_2^2-288y_2^2=-343y_2^2[/mm]
> [mm]4y_3^2+720y_3^2+72y_3^2+144y_3^2+432y_3^2=1372y_3^2[/mm]
>
> Siehst du den fehler?
Statt der Matrix S hast Du die Matrix "7*S" verwendet.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Gut, aber wenn ich mein ergebnis durch 49 bzw 7 dividiere bekomme ich immernoch:
[mm] 7(-y_2^2+4y_3^2+7y_1+14y_2-1)
[/mm]
Also immernoch [mm] -y_2^2 [/mm] statt [mm] -y_1^2, [/mm] was ja auch sinnvoller wäre
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Hallo rollroll,
> Gut, aber wenn ich mein ergebnis durch 49 bzw 7 dividiere
> bekomme ich immernoch:
> [mm]7(-y_2^2+4y_3^2+7y_1+14y_2-1)[/mm]
>
> Also immernoch [mm]-y_2^2[/mm] statt [mm]-y_1^2,[/mm] was ja auch sinnvoller
> wäre
Ja, das ist auch richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Also dann hätte man:
[mm] 7(-y_2^2+4y_3^2+y_1+2y_2-1)
[/mm]
Also ergänzt man
[mm] -y_2^2+2y_2 [/mm] quadratisch, also:
[mm] -(y_2^2-2y_2+1)+1=-(y_2-1)^2+1. [/mm] das in der Klammer sei [mm] z_2, [/mm] dann ergibt sich: (wenn man die übrigen y's auch noch inz's umbenennt)
[mm] -z_2^2+4z_3^2+2z_2
[/mm]
Ist das o.k.? Was wäre das dann für ein Bild?
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Hallo rollroll,
> Also dann hätte man:
> [mm]7(-y_2^2+4y_3^2+y_1+2y_2-1)[/mm]
>
> Also ergänzt man
>
> [mm]-y_2^2+2y_2[/mm] quadratisch, also:
>
> [mm]-(y_2^2-2y_2+1)+1=-(y_2-1)^2+1.[/mm] das in der Klammer sei [mm]z_2,[/mm]
> dann ergibt sich: (wenn man die übrigen y's auch noch
> inz's umbenennt)
>
> [mm]-z_2^2+4z_3^2+2z_2[/mm]
>
> Ist das o.k.? Was wäre das dann für ein Bild?
Ja, das ist ok.
Guckst Du hier: ![[]](/images/popup.gif) Klassifikation einer Quadrik
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rollroll |
dabei ergibt sich dann aber ein Problem, denn es steht kein Fall dabei für [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 bzw. dafür dass noch ein linearer Term dabei steht...
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Hallo rollroll,
> dabei ergibt sich dann aber ein Problem, denn es steht kein
> Fall dabei für [mm]\lambda_1[/mm] = 0 bzw. dafür dass noch ein
> linearer Term dabei steht...
Erstmal muss die Normalform so lauten:
[mm]-z_2^2+4z_3^2+\blue{z_{1}}[/mm]
Sortiere die Eigenwerte entsprechen der Tabelle.
Es gibt ein Eigenwert, der größer Null ist,
ein Eigenwert, der kleiner Null ist, und
einen Eigenwert der gleich Null ist.
Diesen Fall gibt es in der Tabelle.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Also ein hyperbolischer Zylinder?
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Hallo rollroll,
> Also ein hyperbolischer Zylinder?
Ja.
Übrigens, wenn Du nur an dem Typ der Quadrik interessiert bist,
dann reicht schon quadratische Ergänzung aus.
Gruss
MathePower
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