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| Aufgabe | Q : p(x) = [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 8x_{2}^{2} [/mm] − [mm] 6x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 128x_{1} [/mm] + [mm] 46x_{2} [/mm] − 129 = 0.
Bestimmen Sie die affine Normalform dieser Quadrik. |
Wow, hier bin ich völlig aufgeschmissen, ich weiß, dass man diese Gleichung auch in Matrizenschreibweise darstellen kann (so haben wir Quadriken definiert, als konkretes Beispiel für die Anwendung der Hauptachsentransformation/Spektralsatz)
also in der Form
Q : [mm] x^{t}Ax [/mm] + [mm] b^{t}x [/mm] + c = 0 wobei b,x Spaltenvektoren, A symmetrische Matrix mit [mm] a_{ij} \not= [/mm] 0.
Wie komme ich von der Gleichung wieder auf die Matrixdarstellung, wie berechne ich die Normalform?
in der Aufgabe geht es ja wohl um [mm] \IR^{2}, [/mm] d.h. die Zielform wäre:
Q = [mm] \lambda x1^{2} [/mm] + [mm] \mu x2^{1} [/mm] + c
irgendwie müssen sich hier die gemischten Terme x1x2 eliminieren lassen, aber was hat das mit Translation und Drehung zu tun?
ich kann hier wirklich jede Hilfe gebrauchen! Vielen Dank.
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Hallo kunzmaniac,
> Q : p(x) = [mm]x_{1}^{2}[/mm] + [mm]8x_{2}^{2}[/mm] − [mm]6x_{1}x_{2}[/mm] +
> [mm]128x_{1}[/mm] + [mm]46x_{2}[/mm] − 129 = 0.
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> Bestimmen Sie die affine Normalform dieser Quadrik.
> Wow, hier bin ich völlig aufgeschmissen, ich weiß, dass
> man diese Gleichung auch in Matrizenschreibweise darstellen
> kann (so haben wir Quadriken definiert, als konkretes
> Beispiel für die Anwendung der
> Hauptachsentransformation/Spektralsatz)
> also in der Form
> Q : [mm]x^{t}Ax[/mm] + [mm]b^{t}x[/mm] + c = 0 wobei b,x Spaltenvektoren, A
> symmetrische Matrix mit [mm]a_{ij} \not=[/mm] 0.
> Wie komme ich von der Gleichung wieder auf die
> Matrixdarstellung, wie berechne ich die Normalform?
Zunächst einmal müssen die gemischtquadratischen Glieder verschwinden.
Dies erreicht man durch eine Transformation
[mm]x=Dx'[/mm]
,wobei [mm]D^{t}AD[/mm] dann eine Diagonalmatrix sein muß.
Die Matrix D kann zum Beispiel aus den Eigenvektoren
der zugehörigen Eigenwerte der Matrix A zusammengebastelt werden.
Durch eine Translation
[mm]x'=x''+u[/mm]
, wobei u der Translationsvektor ist,
erreicht man schliesslich die gewünschte Form.
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> in der Aufg,abe geht es ja wohl um [mm]\IR^{2},[/mm] d.h. die
> Zielform wäre:
>
> Q = [mm]\lambda x1^{2}[/mm] + [mm]\mu x2^{1}[/mm] + c
>
> irgendwie müssen sich hier die gemischten Terme x1x2
> eliminieren lassen, aber was hat das mit Translation und
> Drehung zu tun?
Durch eine Drehung lassen sich die gemischtquadratischn Glieder eliminieren.
Durch die Translation werden dann auch noch die linaren Glieder eliminiert.
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> ich kann hier wirklich jede Hilfe gebrauchen! Vielen Dank.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Fr 16.01.2009 | | Autor: | kunzmaniac |
wow, danke werde das gleich mal versuchen!
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So, die Drehung habe ich jetzt verstanden - vielen Dank nochmal!
ich bin jetzt bei einer Gleichung der Form:
[mm] a*x1^{2} [/mm] + [mm] b*x2^{2} [/mm] + c*x1 + d*x2 + e
jetzt müssen die linearen Summanden eliminiert werden, um die reinquadratische Form zu erhalten, das kann ich über quadratische ergänzung machen und hab dann einen Term der Form:
a*(x1 + [mm] b)^{2} [/mm] + c*(x2 + [mm] d)^{2} [/mm] + e
das war ja jetzt die Translation, nur - wie lese ich jetzt meinen Translationsvektor ab?
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Hallo kunzmaniac,
> So, die Drehung habe ich jetzt verstanden - vielen Dank
> nochmal!
> ich bin jetzt bei einer Gleichung der Form:
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> [mm]a*x1^{2}[/mm] + [mm]b*x2^{2}[/mm] + c*x1 + d*x2 + e
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> jetzt müssen die linearen Summanden eliminiert werden, um
> die reinquadratische Form zu erhalten, das kann ich über
> quadratische ergänzung machen und hab dann einen Term der
> Form:
>
> a*(x1 + [mm]b)^{2}[/mm] + c*(x2 + [mm]d)^{2}[/mm] + e
>
> das war ja jetzt die Translation, nur - wie lese ich jetzt
> meinen Translationsvektor ab?
>
Ich schreib das mal so:
[mm]a*(x1 + \tilde{b})^{2} + c*(x2 + \tilde{d})^{2}+ \tilde{e}[/mm]
Nun hast Du jetzt neue Variablen:
[mm]\tilde{x1}=x1+\tilde{b}[/mm]
[mm]\tilde{x2}=x2+\tilde{d}[/mm]
Demnach musst Du die Translation
[mm]x1=\tilde{x1}-\tilde{b}[/mm]
[mm]x2=\tilde{x2}-\tilde{d}[/mm]
auf die Gleichung
[mm]a*x1^{2} + b*x2^{2} + c*x1 + d*x2 + e[/mm]
anwenden
[mm]\pmat{-\tilde{b} \\ -\tilde{d}}[/mm] ist jetzt der Translationsvektor.
Gruß
MathePower
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