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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Quadriken
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Quadriken: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:57 Sa 01.06.2013
Autor: Topologe

Aufgabe
Sei V ein dreidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis S. Für x [mm] \in [/mm] V sei [mm] x_{s} [/mm] = [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}). [/mm]

a) Es seien
[mm] p_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}+6x_{3}^{2} [/mm]
[mm] p_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{2}^{2}x_{3}^{2}+x_{3}^{2} [/mm]
[mm] p_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}-2x_{2}x_{3}+6x_{3}^{2} [/mm]
Die Niveauflächen welcher dieser Polynome sind homogene Quadriken?

b) Welche der homogenen Quadriken aus a) sind Ellipsoide?

Hallo :-)
Hab bei dieser Aufgabe leider ein paar Schwierigkeiten, da wir dieses Thema noch nicht wirklich hatten...

zu a) da hatte ich raus, dass [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{3} [/mm] homogene Quadriken sind

zu b) Jetzt kommt mein Problem, dass ich mir nicht wirklich sicher bin, wie man das berechnet. Hab mich jetzt an Wikipedia gehalten..

zu [mm] p_{1}: [/mm]
In Matrizenschreibweise lautet die Gleichung:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}^{T}*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = 0
Die Eigenwerte sind schonmal sehr hässlich: [mm] \lambda_{1}=6, \lambda_{2}=3+\wurzel{2}, \lambda_{3}=3-\wurzel{2} [/mm]
Eigenvektoren:
[mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{\wurzel{2}-1 \\ 1 \\ 0}, v_{3}= \vektor{-\wurzel{2}-1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
Normieren:
[mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{\bruch{\wurzel{2}-1}{4-2\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{4-2\wurzel{2}} \\ 0}, v_{3}=\vektor{\bruch{-\wurzel{2}-1}{4+2\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{4+2\wurzel{2}} \\ 0} [/mm]

Matrix T = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{\wurzel{2}-1}{4-2\wurzel{2}} & \bruch{-\wurzel{2}-1}{4+2\wurzel{2}} \\ 0 & \bruch{1}{4-2\wurzel{2}} & \bruch{1}{4+2\wurzel{2}} \\ 1 & 0 & 0 } [/mm]
[mm] T^{-1}AT [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3+\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3-\wurzel{2}} [/mm]
Nun [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\y_{3}}^{T}*\pmat{ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3+\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3-\wurzel{2}}*\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\y_{3}}=0 [/mm]
[mm] 6y_{1}^{2}+(3+\wurzel{2})y_{2}^{2}+(3-\wurzel{2})y_{3}^{2}=0 [/mm]
Transformiert in [mm] z_{1},z_{2},z_{3}: [/mm]
[mm] \bruch{z_{1}^{2}}{(\bruch{1}{\wurzel{6}})^{2}}+\bruch{z_{2}^{2}}{(\bruch{1}{3+\wurzel{2}})^{2}}+\bruch{z_{3}^{2}}{(\bruch{1}{3-\wurzel{2}})^{2}}=0 [/mm]
Und laut Wikipedia wäre dies jetzt nur ein Punkt.
Stimmt das so? Habe ich mir jetzt so alles irgendwie aus den Fingern gesaugt...

LG
Topologe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Quadriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 So 02.06.2013
Autor: switchback

Muss man nicht einfach nur auf positive definitheit prüfen?

Bezug
                
Bezug
Quadriken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 02.06.2013
Autor: Topologe

Weiss nicht, muss man? :-)

Bezug
                        
Bezug
Quadriken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 So 02.06.2013
Autor: switchback

hab halt diese Definition gefunden:

Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix Q = (qij)
(http://www.mathepedia.de/Ellipsoid.aspx)

Also würde daraus dann ja zumindestens Folgen: nicht pos. definit => nicht ellipsoid

Bezug
                                
Bezug
Quadriken: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 So 02.06.2013
Autor: Topologe

Hört sich schonmal gut an. Danke für den Tip :-)

Bezug
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